Empregando a transformada de Laplace resolva os problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}+6 y=6 \cos 3 t, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y'' + 6y = 6\cos(3t), \quad y(0)=2,\quad y'(0)=0.
Vamos usar que
  1. \displaystyle L\{y'(t)\} = s\,Y(s) - y(0)
  2. \displaystyle L\{y''(t)\} = s^2\,Y(s) - s\,y(0) - y'(0)
  3. \displaystyle L\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^2 + a^2}.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados da EDO:
L\{y''\} + 6\,L\{y\} = 6\,L\{\cos(3t)\},
isto é,
\bigl(s^2\,Y(s) - s\,y(0) - y'(0)\bigr) + 6\,Y(s) = 6\,\frac{s}{s^2+9}.

Passo 3

Substituindo y(0)=2 e y'(0)=0, obtemos
(s^2+6)\,Y(s) - 2s = 6\,\frac{s}{s^2+9},
de onde
Y(s) = \frac{2s}{s^2+6} + \frac{6s}{(s^2+9)(s^2+6)}.

Passo 4

Para inverter a transformada, fazemos frações parciais em
\frac{6s}{(s^2+9)(s^2+6)} = \frac{A\,s}{s^2+9} + \frac{B\,s}{s^2+6}.
Isso gera a identidade
6 = A\,(s^2+6) + B\,(s^2+9).
Igualando coeficientes de s^2\) e das constantes: \[\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 6 = 6A + 9B, \end{cases}
resultando em A=-2\] e \(B=2. Logo
Y(s) = \frac{2s}{s^2+6} -2\,\frac{s}{s^2+9} +2\,\frac{s}{s^2+6} = \frac{4s}{s^2+6} - \frac{2s}{s^2+9}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa, lembrando que \displaystyle \frac{s}{s^2+6}\mapsto \cos(\sqrt{6}\,t) e \displaystyle \frac{s}{s^2+9}\mapsto \cos(3t), concluímos
y(t) = 4\cos\bigl(\sqrt{6}\,t\bigr) \;-\; 2\cos(3t).

Resposta

y(t) = 4\cos\bigl(\sqrt{6}\,t\bigr) - 2\cos(3t).

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