Em uma empresa:
  • 40 \% dos projetos são internos;
  • 60% são para clientes externos;
  • A taxa de sucesso é 90 \% para projetos internos e 70 \% para externos.
Um projeto escolhido aleatoriamente foi bem-sucedido. Qual é a probabilidade de ele ser interno?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Informações dadas:
    • \,40\% dos projetos são internos.
    • \,60\% dos projetos são para clientes externos.
    • A taxa de sucesso é \,90\% para projetos internos.
    • A taxa de sucesso é \,70\% para projetos externos.
  • O que o enunciado pergunta:
    • Qual é a probabilidade de um projeto ser interno, dado que ele foi bem-sucedido? Ou seja, calcular \,P(I\mid S), onde:
      • I = evento “projeto é interno”;
      • S = evento “projeto foi bem-sucedido”.

Passo 2

Definir probabilidades básicas (converter porcentagens em probabilidades):
  • P(I)=0,4 (peguei isso de \,40\%).
  • P(E)=0,6 (peguei isso de \,60\%), onde E = “projeto externo”.
  • P(S\mid I)=0,9 (peguei isso de \,90\%).
  • P(S\mid E)=0,7 (peguei isso de \,70\%).
Explicação curta do que cada símbolo significa:
  • P(I) é a probabilidade de escolher um projeto interno antes de saber se deu certo.
  • P(S\mid I) é a probabilidade de sucesso sabendo que o projeto é interno.
  • P(I\mid S) é a probabilidade que queremos: ser interno sabendo que o projeto foi bem-sucedido.

Passo 3

Para achar P(I\mid S) vamos usar a regra de Bayes. Antes, precisamos do denominador de Bayes, que é P(S) — a probabilidade total de sucesso. Para calcular P(S) usamos a regra da probabilidade total:
P(S)=P(S\mid I)\,P(I)+P(S\mid E)\,P(E).
Aqui a ideia é somar as contribuições para o sucesso vindas dos dois tipos de projetos (internos e externos), ponderadas pelas probabilidades desses tipos.

Passo 4

Calcular P(S) com os números que pegamos do enunciado:
P(S)=0,9\cdot 0,4 + 0,7\cdot 0,6.
Fazendo as contas passo a passo:
0,9\cdot 0,4 = 0,36, \qquad 0,7\cdot 0,6 = 0,42,
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P(S)=0,36+0,42=0,78.

Passo 5

Agora escrevemos a fórmula de Bayes para o que queremos:
P(I\mid S)=\frac{P(S\mid I)\,P(I)}{P(S)}.
Na fórmula:
  • o numerador P(S\mid I)\,P(I) é a probabilidade simultânea de “ser interno e ter sucesso”;
  • o denominador P(S) é a probabilidade total de sucesso (calculada no passo anterior).

Passo 6

Substituir os números na fórmula de Bayes:
P(I\mid S)=\frac{0,9\cdot 0,4}{0,78}=\frac{0,36}{0,78}=\frac{36}{78}.
Passo interpretativo rápido (modo intuitivo): se imaginar 100 projetos,
  • 40 são internos e 40\cdot 0,9=36 desses têm sucesso (peguei os números do enunciado);
  • 60 são externos e 60\cdot 0,7=42 desses têm sucesso;
  • ao todo 36+42=78 projetos bem-sucedidos, e dentre esses 36 são internos, daí a fração \dfrac{36}{78}.

Resposta

\dfrac{6}{13}\approx 46{,}15\%

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