Uma empresa está desenvolvendo uma nova liga metálica utilizando três metais: A, B e C. Nos testes com diferentes propoções dos metais observou-se que a condutividade elétrica da nova liga metálica pode ser modelada por
em Siemens por metro, onde
e
são respectivamente as proporções dos materiais na nova liga metálica.
(a) (2 pontos) Descreva a condutividade como uma função de duas variáveis. Use o fato de que
.
(b) (2 pontos) Utilizando as duas variáveis escolhidas no item anterior determine
o conjunto de pontos dados pelos pares que representam proporções reais de materiais.
(c) (4 pontos) Quais são os pontos interiores de
? Quais são os pontos de fronteira de
?
é limitado ou ilimitado?
é fechado? Justifique suas respostas.
(d) (2 pontos) Justifique a existência de pontos em
onde condutividade atinge extremos globais.
(e) (10 pontos) Encontre os valores extremos locais da condutividade.
(f) (8 pontos) Encontre os valores extremos da condutividade ao longo da fronteira de
.
(g) (2 pontos) Quais são os valores máximos e mínimos da condutividade em
? Em quais pontos são atingidos? Qual a composição da liga metálica quando o máximo e o mínimo da condutividade são atingidos?
(a) (2 pontos) Descreva a condutividade como uma função de duas variáveis. Use o fato de que
(b) (2 pontos) Utilizando as duas variáveis escolhidas no item anterior determine
(c) (4 pontos) Quais são os pontos interiores de
(d) (2 pontos) Justifique a existência de pontos em
(e) (10 pontos) Encontre os valores extremos locais da condutividade.
(f) (8 pontos) Encontre os valores extremos da condutividade ao longo da fronteira de
(g) (2 pontos) Quais são os valores máximos e mínimos da condutividade em
Passo 1
O enunciado dá a condutividade de uma liga metálica em função de três proporções
sujeitas a
pela fórmula
O conteúdo é redução a duas variáveis usando a restrição, descrição do domínio em
, classificação de interior e fronteira, existência de extremos globais (Teorema de Weierstrass) e cálculo de extremos locais na região e na fronteira.
Passo 2
Para eliminar
usamos
. Assim
Reagrupando termos obtemos
Passo 3
As proporções reais exigem
,
e
. Logo o domínio é
Passo 4
O interior de
é
e a fronteira é a união dos três segmentos
,
e
.
é limitado (fica dentro do triângulo de vértices
) e fechado (inclui sua fronteira).
Passo 5
A função
é polinomial em
, logo contínua em
, que é compacto. Pelo Teorema de Weierstrass,
atinge valores mínimo e máximo globais em
.
Passo 6
Procuramos pontos críticos no interior de
. Calculamos as derivadas parciais:
A equação
dá
, mas
não tem solução real (discriminante negativo). Logo não há pontos críticos interiores e, portanto, não há extremos locais em interior de
.
Passo 7
Analisamos as três arestas:
E1:
.
logo
é crescente. Em
temos
; em
temos
E2:
.
zero em
com
Como
, este é máximo local da aresta. Nos extremos:
E3:
. Com
logo
decresce. Em
(isto é,
) tem-se
; em
(i.e.
) tem-se
.
Passo 8
Comparamos todos os valores críticos e de vértice:
O menor valor é
em
; o maior é
em
.
Resposta
O valor mínimo de condutividade em
é
(Siemens/m) atingido em
, ou seja
de metal A.
O valor máximo de condutividade em é
(Siemens/m) atingido em
, ou seja
de metal B.
O valor máximo de condutividade em