Uma empresa está desenvolvendo uma nova liga metálica utilizando três metais: A, B e C. Nos testes com diferentes propoções dos metais observou-se que a condutividade elétrica da nova liga metálica pode ser modelada por
-2 a^2+3 b^3-2 b^2+3 b^3-13 c+133
em Siemens por metro, onde a, b e c são respectivamente as proporções dos materiais na nova liga metálica.
(a) (2 pontos) Descreva a condutividade como uma função de duas variáveis. Use o fato de que a+b+c=1.
(b) (2 pontos) Utilizando as duas variáveis escolhidas no item anterior determine D subset R^2 o conjunto de pontos dados pelos pares que representam proporções reais de materiais.
(c) (4 pontos) Quais são os pontos interiores de D ? Quais são os pontos de fronteira de D ? D é limitado ou ilimitado? D é fechado? Justifique suas respostas.
(d) (2 pontos) Justifique a existência de pontos em D onde condutividade atinge extremos globais.
(e) (10 pontos) Encontre os valores extremos locais da condutividade.
(f) (8 pontos) Encontre os valores extremos da condutividade ao longo da fronteira de D.
(g) (2 pontos) Quais são os valores máximos e mínimos da condutividade em D ? Em quais pontos são atingidos? Qual a composição da liga metálica quando o máximo e o mínimo da condutividade são atingidos?

Passo 1

O enunciado dá a condutividade de uma liga metálica em função de três proporções a,b,c sujeitas a
a+b+c=1,
pela fórmula
-2a^2+3b^3-2b^2+3b^3-tfrac13c+tfrac133
O conteúdo é redução a duas variáveis usando a restrição, descrição do domínio em R^2, classificação de interior e fronteira, existência de extremos globais (Teorema de Weierstrass) e cálculo de extremos locais na região e na fronteira.

Passo 2

Para eliminar c usamos c=1-a-b. Assim
f(a,b)= -2a^2+6b^3-2b^2-tfrac13(1-a-b)+tfrac133
Reagrupando termos obtemos
f(a,b)= -2a^2+tfraca3+6b^3-2b^2+tfracb3+4

Passo 3

As proporções reais exigem a>=0, b>=0 e c=1-a-b>=0. Logo o domínio é
D=(a,b)inR^2mid a>=0,;b>=0,;a+b<=1

Passo 4

O interior de D é
(a,b)mid a>0,;b>0,;a+b<1,
e a fronteira é a união dos três segmentos
a=0,;0<= b<=1,
b=0,;0<= a<=1 e
a+b=1,;a,b>=0.
D é limitado (fica dentro do triângulo de vértices (0,0),(1,0),(0,1)) e fechado (inclui sua fronteira).

Passo 5

A função f é polinomial em (a,b), logo contínua em D, que é compacto. Pelo Teorema de Weierstrass, f atinge valores mínimo e máximo globais em D.

Passo 6

Procuramos pontos críticos no interior de D. Calculamos as derivadas parciais:
fa(a,b)=-4a+tfrac13, fb(a,b)=18b^2-4b+tfrac13
A equação fa=0 a=tfrac112, mas fb=0 não tem solução real (discriminante negativo). Logo não há pontos críticos interiores e, portanto, não há extremos locais em interior de D.

Passo 7

Analisamos as três arestas:
E1: a=0,;bin[0,1].
f(0,b)=6b^3-2b^2+tfracb3+4,
ddbf(0,b)=18b^2-4b+tfrac13>0forall b,
logo f(0,b) é crescente. Em b=0 temos f(0,0)=4; em b=1 temos
f(0,1)=6-2+tfrac13+4=tfrac253
E2: b=0,;ain[0,1].
f(a,0)=-2a^2+tfraca3+4, ddaf(a,0)=-4a+tfrac13,
zero em a=tfrac112in[0,1] com
fl(tfrac112,0r) =-2l(tfrac112r)^2+tfrac136+4 =tfrac28972
Como d^2da^2f=-4<0, este é máximo local da aresta. Nos extremos:
f(0,0)=4, f(1,0)=-2+tfrac13+4=tfrac73
E3: a+b=1,;ain[0,1]. Com b=1-a
g(a)=fl(a,1-ar)=-6a^3+14a^2-tfrac433a+tfrac253,
g'(a)=-18a^2+28a-tfrac433<0forall a,
logo g decresce. Em a=0 (isto é, b=1) tem-se g(0)=25/3; em a=1 (i.e. b=0) tem-se g(1)=7/3.

Passo 8

Comparamos todos os valores críticos e de vértice:
f(1,0)=tfrac73, f(0,0)=4, fl(tfrac112,0r)=tfrac28972approx4,0139, f(0,1)=tfrac253approx8,3333
O menor valor é tfrac73 em (1,0); o maior é tfrac253 em (0,1).

Resposta

O valor mínimo de condutividade em D é tfrac73 (Siemens/m) atingido em (a,b,c)=(1,0,0), ou seja 100% de metal A.
O valor máximo de condutividade em D é tfrac253 (Siemens/m) atingido em (a,b,c)=(0,1,0), ou seja 100% de metal B.

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