Uma empresa fabricante de analisadores efetua um teste para controle de qualidade de seus produtos. Esta empresa afirma que no máximo 2 \% de analisadores apresentam desgaste acima do tolerado. Selecionou-se uma amostra de 600 analisadores, das quais 18 apresentaram níveis de desgaste acima do tolerado. Verifique, ao nível de significância de 5 \%, se a afirmação da empresa é verdadeira.

Passo 1

O enunciado se refere a um teste de hipótese para proporção em uma amostra de tamanho n=600, na qual x=18 unidades apresentam desgaste acima do tolerado. A empresa afirma que, no máximo, 2\% dos analisadores estão fora de especificação. Vamos testar essa afirmação ao nível de significância de 5\%.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0:\;p \le 0{,}02
H_1:\;p > 0{,}02
Aqui p é a proporção verdadeira de analisadores com desgaste acima do tolerado.

Passo 3

Verificamos as condições para usar a aproximação normal ao teste de proporção:
n p_0 = 600 \times 0{,}02 = 12 > 5,
n (1 - p_0) = 600 \times 0{,}98 = 588 > 5.
Como ambas as quantidades são maiores que 5, podemos usar o teste-z para proporções.

Passo 4

Calculamos a proporção observada:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{18}{600} = 0{,}03.
Sob H_0, usamos p_0 = 0{,}02 para o desvio-padrão da proporção:
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p_0 (1 - p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}02 \times 0{,}98}{600}} \approx 0{,}005716.

Passo 5

O valor do estatístico de teste é
z = \frac{\hat p - p_0}{\sigma_{\hat p}} = \frac{0{,}03 - 0{,}02}{0{,}005716} \approx 1{,}75.

Passo 6

Para um teste unilateral à direita com nível \alpha = 0{,}05, o valor crítico é
z_{0{,}05} = 1{,}645.
A região de rejeição é z > 1{,}645. Como 1{,}75 > 1{,}645, rejeitamos H_0.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de significância de 5\%. Conclui-se que há evidências de que a proporção de analisadores com desgaste acima do tolerado é superior a 2\%, logo a afirmação da empresa não é verdadeira.

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