Suponha que estejamos interessados em estimar a proporção \mathbf{p} de consumidores de uma marca de autoclave. Experiências passadas mostram que a proporção de consumidores deste autoclave é de 5 \%. Com o objetivo de melhorar este resultado foi feito uma forte propaganda durante 15 dias desta marca para tentar melhorar esta afirmação. Após a progaganda, foi feita uma pesquisa de mercardo com o tamanho de amostra de 865 pessoas e observou-se que 13 \% desses consumidores preferem tal autoclave. Será que a afirmação anterior em relação a proporção de consumidores continuam as mesmas? Teste as hipóteses usando o nível de significância de 5 \%.

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipóteses para a proporção de consumidores de uma autoclave antes e depois de uma campanha publicitária. Pelos dados, a proporção histórica é p_0=0{,}05; após a propaganda, numa amostra de n=865 pessoas, observou-se \hat p=0{,}13. Vamos usar um teste- z para proporções, com nível de significância \alpha=0{,}05.

Passo 2

Formulamos as hipóteses e verificamos a condição de aproximar por normal:
H_0:\;p=0{,}05
H_1:\;p\neq0{,}05
Condição de normalidade:
n\,p_0=865\times0{,}05=43{,}25>5
n\,(1-p_0)=865\times0{,}95=821{,}75>5
Logo, podemos usar a distribuição normal.

Passo 3

Calculamos o erro padrão da proporção sob H_0:
\text{SE} = \sqrt{\frac{p_0\,(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}05\cdot0{,}95}{865}} = \sqrt{0{,}000054912}\approx0{,}00741

Passo 4

A estatística de teste é
z_0 = \frac{\hat p - p_0}{\text{SE}} = \frac{0{,}13 - 0{,}05}{0{,}00741} \approx 10{,}80

Passo 5

Para \alpha=0{,}05, o valor crítico em teste bilateral é
z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}\approx1{,}96.
Como \lvert z_0\rvert=10{,}80>1{,}96, rejeitamos H_0.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%. Conclui-se que a proporção de consumidores mudou significativamente em relação a 5\%.

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