Uma empresa em implantação planeja aumentar o número de funcionários de acordo com a relação N(t)=250-180 \cdot e^{-0,31 t}, em que t é o número de anos após a abertura. Em quanto tempo a empresa planeja empregar 245 funcionários?

Passo 1

O enunciado dá o número de funcionários previsto pela função
N(t)=250 - 180\,e^{-0,31\,t}
e pergunta em que tempo t a empresa terá N(t)=245. Vamos resolver essa equação exponencial usando propriedades de logaritmos.

Passo 2

Igualamos a função a 245:
245 = 250 - 180\,e^{-0,31\,t}.

Passo 3

Isolamos o termo exponencial:
180\,e^{-0,31\,t} = 250 - 245 = 5,
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e^{-0,31\,t} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}.

Passo 4

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
-0,31\,t = \ln\!\bigl(\tfrac{1}{36}\bigr) = -\ln(36),
portanto
t = \frac{\ln(36)}{0,31}.

Passo 5

Calculando numericamente:
\ln(36)\approx 3,5835 \quad\text{e}\quad t \approx \frac{3,5835}{0,31} \approx 11,56.

Resposta

Aproximadamente 11,56 anos.

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