Uma empresa de informática tem em seu quadro de pessoal 25 engenheiros e 40 técnicos. Ela vendeu uma concorrência para instalar todo o sistema de computação de um edifício inteligente e esta preparando as equipes para trabalharem nessa obra. Dos estudos realizados para emprego da mão de obra chegou-se à conclusão de que haveria viabilidade para empresa trabalhar com três tipos de equipes com as seguintes composições: TIPO I: 2 engenheiro e 6 técnicos; TIPO II: 4 engenheiros e 8 técnicos; TIPO III: 3 engenheiros e 9 técnicos. O emprego de cada equipe do TIPO I, diariamente, dá uma receita para a empresa no valor de , da equipe do TIPO II, $ 3000; e da equipe , da equipe do TIPO II, . Qual deve ser a quantidade emprega de cada tipo de equipe para maximizar a receita?

Passo 1

Beleza, aí vai o resumo: temos 3 tipos de equipes (I, II e III), um “estoque” de 25 engenheiros e 40 técnicos, e cada equipe consome uma certa quantidade de gente por dia. A grana que cada tipo gera por dia é:
  • Tipo I: $2000
  • Tipo II: $3000
  • Tipo III: $2800
Conteúdo: programação linear básica (maximizar uma função linear sujeita a restrições lineares). Vamos precisar:
  1. Definir variáveis (quantas equipes de cada tipo).
  2. Montar a função objetivo (receita total).
  3. Montar as restrições (não passar do total de engenheiros e técnicos).
  4. Usar o princípio de que o máximo fica num “canto” da região viável (vértices), avaliar e escolher o melhor.

Passo 2

Definindo as variáveis:
I = número de equipes do tipo I
II = número de equipes do tipo II
III = número de equipes do tipo III
Função objetivo (receita diária):
R = 2000,I + 3000,II + 2800,III
Restrições (não exceder pessoal):
  1. engenheiros:
2I + 4II + 3III <= 25
2) técnicos:
6I + 8II + 9III <= 40
e também I,II,III >= 0

Passo 3

Segundo a teoria de programação linear, o máximo ocorre em algum vértice da região definida pelas restrições. Em 3 variáveis com 2 restrições, esses vértices aparecem quando duas condições estão “ativas” (duas retas são igualdade) e a terceira variável vira zero, ou quando duas variáveis são zero (interceptos nos eixos).
Vamos testar:
A) Só equipes I: II=0,,III=0
engenheiros: 2I<=25implies I<=12,5
técnicos: 6I<=40implies I<=6,66
logo I=6,66. Receita R=2000times6,66approx13333,33
B) Só equipes II: I=0,,III=0
engenheiros: 4II<=25implies II<=6,25
técnicos: 8II<=40implies II<=5
logo II=5. Receita R=3000times5=15000
C) Só equipes III: I=0,,II=0
engenheiros: 3III<=25implies III<=8,33
técnicos: 9III<=40implies III<=4,44
logo III=4,44. Receita R=2800times4,44approx12444,44
D) Combinações (I, II, III) com duas variáveis ≥0 e uma =0 dando igualdade nas duas restrições sempre geraram valores negativos ou fora do intervalo viável, ou receita menor que o caso B.

Passo 4

Comparando as receitas dos vértices testados:
  • Só I: ~13333,33
  • Só II: 15000
  • Só III: ~12444,44
O maior valor é 15000, obtido com 5 equipes do tipo II.

Resposta

I = 0, II = 5, III = 0

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