Uma fábrica de confecção produz camisetas, bonés e calções. Cada camiseta gera uma contribuição para o lucro de , cada boné , cada boné e cada calção 3. Na confecção de uma camiseta gastam-se de tecido, em cada boné Na confecção de uma camiseta gastam-se e em cada calção 1,20m. A fábrica conta com 25 costureiras que trabalham 6 horas por dia na confecção desses artigos. Cada camiseta leva 14 minutos para ser confeccionadas, um boné 11 minutos e um calção 10 minutos. O mercado demanda no máximo 500 camisetas. Qual modelo maximiza o lucro diário da confecção?

Passo 1

Beleza, a gente tem uma fábrica que faz três produtos – camiseta ©, boné (B) e calção (S) – e quer saber quantos de cada um produzir por dia pra ter o maior lucro. A matéria aqui é Programação Linear: a gente vai definir variáveis, montar uma função objetivo (o lucro) e restrições (tempo de máquina e demanda). Precisamos de:
  • Variáveis de decisão: C, B, S
  • Função objetivo: maximizar
  • Restrições:
    1. Tempo total das costureiras (25 × 6 h = 9000 min)
    2. Demanda máxima de camisetas (C ≤ 500)
    3. Não-negatividade (C, B, S ≥ 0)

Passo 2

Definindo o modelo:
Variáveis
Maximizar Z = 4C + 3B + 5S = número de camisetas
14C + 11B + 10S ;<=; 9000 = número de bonés
C ;<=; 500 = número de calções
Função objetivo (lucro diário):
C >= 0, B >= 0, S >= 0
Restrições:
  1. Tempo das costureiras (em minutos):
  1. Demanda máxima de camisetas:
  1. Não-negatividade:

Passo 3

Agora, teoria rápida: quando a gente tem só uma grande restrição de tempo e variáveis contínuas (aqui inteiras, mas o raciocínio vale igual), costuma-se olhar a “taxa de lucro por minuto”. Para cada produto:
  • Camiseta: /min - Boné: (tfrac311approx0,273) $/min
  • Boné: $/min
  • Calção: $/min
Quanto maior essa taxa, mais “rentável” usar tempo naquele produto. Vendo aí, calção (S) é o campeão.

Passo 4

Seguindo a lógica do “ralo de tempo”:
  1. Produzimos só calções até acabar o tempo.
  2. Cada calção leva 10 min, temos 9000 min no total, logo /min) pra pôr em camiseta (0,286 calções.
  3. Aí sobra zero tempo, então não cabe camiseta nem boné (e de qualquer jeito a gente não ultrapassa a cota de 500 camisetas, já que C=0).
Não há outra combinação que renda mais, porque qualquer tempo que a gente tirasse dos calções (0,5 $/min) pra pôr em camiseta (0,286 $/min) reduziria o lucro.

Resposta

Produzir 900 calções, 0 camisetas e 0 bonés, para obter o lucro máximo de
Z = 5 times 900 = $4500

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