Uma empresa de marketing digital realiza investimentos diários em anúncios online. Inicialmente, os valores investidos eram constantes, mas, após um período de testes, a equipe passou a ajustar o orçamento diário com base nos resultados dos dias anteriores, uma prática comum para maximizar o retorno sobre investimento (ROI).
Nos primeiros dias do mês, foi registrado o seguinte custo acumulado diário com anúncios (em reais):
Dia
Custo acumulado
em R (
))$
1
500
2
1000
3
1600
4
2300
5
3100
A equipe de análise financeira observa que os valores acumulados seguem um padrão que pode ser explicado, levando em consideração os valores dos dois dias anteriores.
(a) Encontre a recorrência que descreve este modelo.
(b) Usando a fórmula obtida, estime o custo acumulado nos dias 10 20.
(c) Suponha que a empresa deseja estabilizar o crescimento do custo acumulado nos próximos dias. Explique como a modificação dos coeficientes
e
na fórmula da recorrência pode impactar esse crescimento.
(d) Com base em sua análise, proponha uma estratégia de controle para o investimento diário que mantenha o crescimento do custo sob controle sem comprometer a visibilidade do anúncio.
Dia
|
Custo acumulado
|
))$ | |
1 | 500 |
2 | 1000 |
3 | 1600 |
4 | 2300 |
5 | 3100 |
(a) Encontre a recorrência que descreve este modelo.
(b) Usando a fórmula obtida, estime o custo acumulado nos dias 10 20.
(c) Suponha que a empresa deseja estabilizar o crescimento do custo acumulado nos próximos dias. Explique como a modificação dos coeficientes
(d) Com base em sua análise, proponha uma estratégia de controle para o investimento diário que mantenha o crescimento do custo sob controle sem comprometer a visibilidade do anúncio.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência de custos acumulados
e diz que cada termo é ajustado com base nos dois dias anteriores. Vamos modelar isso por uma recorrência de segunda ordem possivelmente não-homogênea do tipo
Para encontrar
usaremos as diferenças entre termos.
Passo 2
Calculemos as diferenças de primeira ordem
elas são
Como a diferença aumenta em
a cada passo, a segunda diferença é constante igual a
. Isso implica na recorrência
ou seja
Passo 3
Para estimar
e
podemos achar a solução fechada. Procuramos uma solução polinomial de grau 2,
Substituindo na recorrência obtém-se
. Usando
e
achamos
e
. Logo
Logo
Passo 4
Na parte homogênea da recorrência
a equação característica é
Os valores de
e
determinam as raízes
.
- Se
, os efeitos dos termos iniciais se atenuam e a solução se aproxima da parte particular (estabilizando). - Se
, há crescimento exponencial (instabilidade).
No nosso casodá raiz dupla , gerando crescimento polinomial de grau 2. Reduzir e/ou aumentar (de modo a ter ) atenua o crescimento, tornando o custo acumulado capaz de convergir a um valor limite.
Passo 5
Uma estratégia de controle para manter o crescimento sob controle sem perder visibilidade pode ser:
- Usar uma recorrência do tipo
o que suaviza oscilações e impede aumentos bruscos.
2. Impor um teto ao incremento diário, por exemplo
2. Impor um teto ao incremento diário, por exemplo
onde
é o máximo aceitável de aumento de orçamento.
3. Ajustar periodicamente e
segundo o ROI observado, garantindo que o custo não exploda mas a campanha mantenha alcance.
3. Ajustar periodicamente
Resposta
(a)
(b)
(c) Diminuir ou aumentar
de modo a ter
faz a parte homogênea decair, estabilizando a série; se
haverá crescimento acelerado.
(d) Por exemplo, usar pesos nos dois termos anteriores (suavização) e limitar o incremento diário máximo, ajustando esses parâmetros conforme o ROI para conter o custo sem sacrificar visibilidade.
(b)
(c) Diminuir
(d) Por exemplo, usar pesos