Uma empresa de marketing digital realiza investimentos diários em anúncios online. Inicialmente, os valores investidos eram constantes, mas, após um período de testes, a equipe passou a ajustar o orçamento diário com base nos resultados dos dias anteriores, uma prática comum para maximizar o retorno sobre investimento (ROI).
Nos primeiros dias do mês, foi registrado o seguinte custo acumulado diário com anúncios (em reais):
Dia (n) Custo acumulado x_{n}( em R (
))$
1 500
2 1000
3 1600
4 2300
5 3100
A equipe de análise financeira observa que os valores acumulados seguem um padrão que pode ser explicado, levando em consideração os valores dos dois dias anteriores.
(a) Encontre a recorrência que descreve este modelo.
(b) Usando a fórmula obtida, estime o custo acumulado nos dias 10 20.
(c) Suponha que a empresa deseja estabilizar o crescimento do custo acumulado nos próximos dias. Explique como a modificação dos coeficientes a e b na fórmula da recorrência pode impactar esse crescimento.
(d) Com base em sua análise, proponha uma estratégia de controle para o investimento diário que mantenha o crescimento do custo sob controle sem comprometer a visibilidade do anúncio.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência de custos acumulados
x_1=500,\;x_2=1000,\;x_3=1600,\;x_4=2300,\;x_5=3100
e diz que cada termo é ajustado com base nos dois dias anteriores. Vamos modelar isso por uma recorrência de segunda ordem possivelmente não-homogênea do tipo
x_n = a\,x_{n-1} + b\,x_{n-2} + c.
Para encontrar a,b,c usaremos as diferenças entre termos.

Passo 2

Calculemos as diferenças de primeira ordem
\Delta_n = x_n - x_{n-1},\quad n=2,3,4,5
elas são
\Delta_2 = 1000-500 = 500,\quad \Delta_3 = 1600-1000 = 600,
\Delta_4 = 2300-1600 = 700,\quad \Delta_5 = 3100-2300 = 800.
Como a diferença aumenta em 100 a cada passo, a segunda diferença é constante igual a 100. Isso implica na recorrência
x_n - 2\,x_{n-1} + x_{n-2} = 100,
ou seja
\boxed{x_n = 2\,x_{n-1} - x_{n-2} + 100.}

Passo 3

Para estimar x_{10} e x_{20} podemos achar a solução fechada. Procuramos uma solução polinomial de grau 2,
x_n = \alpha n^2 + \beta n + \gamma.
Substituindo na recorrência obtém-se \alpha=50. Usando x_1=500 e x_2=1000 achamos \beta=350 e \gamma=100. Logo
x_n = 50\,n^2 + 350\,n + 100.
Logo
x_{10} = 50\cdot10^2 + 350\cdot10 + 100 = 8600,
x_{20} = 50\cdot20^2 + 350\cdot20 + 100 = 27100.

Passo 4

Na parte homogênea da recorrência x_n - a\,x_{n-1} - b\,x_{n-2}=0 a equação característica é
r^2 - a\,r - b = 0.
Os valores de a e b determinam as raízes r_1,r_2.
  • Se \max\{|r_1|,|r_2|\}<1, os efeitos dos termos iniciais se atenuam e a solução se aproxima da parte particular (estabilizando).
  • Se \max\{|r_1|,|r_2|\}>1, há crescimento exponencial (instabilidade).
    No nosso caso a=2,b=-1 dá raiz dupla r=1, gerando crescimento polinomial de grau 2. Reduzir a e/ou aumentar b (de modo a ter |r|<1) atenua o crescimento, tornando o custo acumulado capaz de convergir a um valor limite.

Passo 5

Uma estratégia de controle para manter o crescimento sob controle sem perder visibilidade pode ser:
  1. Usar uma recorrência do tipo
x_n = \alpha\,x_{n-1} + (1-\alpha)\,x_{n-2} + c,\quad 0<\alpha<1,
o que suaviza oscilações e impede aumentos bruscos.
2. Impor um teto ao incremento diário, por exemplo
x_n - x_{n-1} \le \Delta_{\max},
onde \Delta_{\max} é o máximo aceitável de aumento de orçamento.
3. Ajustar periodicamente \alpha e \Delta_{\max} segundo o ROI observado, garantindo que o custo não exploda mas a campanha mantenha alcance.

Resposta

(a) \displaystyle x_n = 2\,x_{n-1} - x_{n-2} + 100.
(b) \displaystyle x_{10}=8600,\quad x_{20}=27100.
(c) Diminuir a ou aumentar b de modo a ter \max\{|r_1|,|r_2|\}<1 faz a parte homogênea decair, estabilizando a série; se a+b>1 haverá crescimento acelerado.
(d) Por exemplo, usar pesos \alpha<1 nos dois termos anteriores (suavização) e limitar o incremento diário máximo, ajustando esses parâmetros conforme o ROI para conter o custo sem sacrificar visibilidade.

Exercícios relacionados