1. Uma empresa monopolista enfrenta a demanda P(Q)=100-Q e custo total C(Q)=10 Q.
    (a) Determine o preço e a quantidade de equilíbrio monopolista.
    (b) Calcule o lucro do monopolista.
    (c) Compare o excedente social com o caso competitivo (P=M C).

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi informado e o que precisa ser respondido.
Dados do enunciado:
  • A função demanda é P(Q)=100-Q.
  • O custo total é C(Q)=10\,Q.
O enunciado pede:
  • (a) Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio do monopolista.
  • (b) Calcular o lucro do monopolista.
  • (c) Comparar o excedente social no caso monopolista com o caso competitivo (onde P=MC).

Passo 2

Entendendo as ferramentas que vamos usar (passo-a-passo didático e sem pular etapas).
  1. Receita total (ou faturamento) é a demanda vezes a quantidade:
R(Q)=P(Q)\,Q=(100-Q)\,Q=100Q-Q^{2}.
Explicação: isto dá quanto o monopolista recebe por vender Q unidades.
  1. Receita marginal MR é a derivada da receita total em relação a Q; ela mede quanto a receita total aumenta se o monopolista vende uma unidade a mais:
MR(Q)=\frac{dR}{dQ}=100-2Q.
Breve lembrete sobre derivada: derivar 100Q 100 e derivar -Q^2 -2Q.
  1. Custo marginal MC é a derivada do custo total C(Q) em relação a Q:
MC(Q)=\frac{dC}{dQ}=\frac{d(10Q)}{dQ}=10.
Aqui MC é constante e vale 10 por unidade adicional produzida.
  1. Regra de maximização do lucro (intuição): o monopolista escolhe Q tal que MR=MC. Por quê? Porque enquanto MR>MC vender uma unidade adicional aumenta o lucro; quando MR<MC vender mais reduz o lucro.

Passo 3

Aplicar a condição MR=MC para achar a quantidade monopolista Q_{m}.
Escrevendo a equação:
100-2Q=10.
Resolver passo a passo:
100-2Q=10 \implies 100-10=2Q \implies 90=2Q \implies Q=45.
Portanto a quantidade de equilíbrio monopolista é \,Q_{m}=45.
Agora calcular o preço correspondente usando a função demanda:
P_{m}=100-Q_{m}=100-45=55.
Interpretação rápida: o monopolista produz menos ( 45) do que num mercado competitivo típico (veremos depois), e cobra um preço maior ( 55).

Passo 4

Calcular receita total, custo total e lucro do monopolista de forma detalhada.
  1. Receita total no ponto ótimo:
R(Q_{m})=P_{m}\,Q_{m}=55\cdot45.
Calculemos 55\cdot45 passo a passo:
55\cdot45=55\cdot(40+5)=55\cdot40+55\cdot5=2200+275=2475.
Então R(Q_{m})=2475.
  1. Custo total no ponto ótimo:
C(Q_{m})=10\cdot Q_{m}=10\cdot45=450.
  1. Lucro \pi é receita total menos custo total:
\pi=R(Q_{m})-C(Q_{m})=2475-450=2025.
Observação alternativa (atalho útil em prova): quando MC é constante e igual a c, o lucro também pode ser obtido por \pi=(P_{m}-MC)\,Q_{m}=(55-10)\cdot45=45\cdot45=2025. Dá o mesmo resultado; mostrei ambos para você entender.

Passo 5

Calcular os excedentes no caso monopolista (explicação didática do que é cada peça).
  1. Excedente do consumidor (CS) é a área entre a curva de demanda e o preço pago, de 0 até Q_{m}. Geometricamente, com demanda linear, é um triângulo:
CS_{m}=\tfrac{1}{2}\times(\text{altura})\times(\text{base}) =\tfrac{1}{2}\times(100-55)\times45.
Calcule passo a passo:
100-55=45,\quad \tfrac{1}{2}\times45\times45=\tfrac{1}{2}\times2025=1012{,}5.
Portanto CS_{m}=1012{,}5.
(Verificação por integral, para aprendizado: CS_{m}=\int_{0}^{45}(100-Q)\,dQ - P_{m}Q_{m}=[100Q-\tfrac{1}{2}Q^{2}]_{0}^{45}-2475 = 3487{,}5-2475=1012{,}5.)
  1. Excedente do produtor (producer surplus) no nosso caso sem custos fixos é igual ao lucro (pois PS=TR-VC e aqui VC=C):
PS_{m}=\pi=2025.
  1. Excedente social total no monopólio (somatório CS+PS):
TS_{m}=CS_{m}+PS_{m}=1012{,}5+2025=3037{,}5.

Passo 6

Calcular o caso competitivo (comparação pedida) onde P=MC.
Condição P=MC:
100-Q=10 \implies Q_{c}=90.
Preço competitivo:
P_{c}=10.
Calcular excedentes no caso competitivo:
  1. Excedente do consumidor competitivo (triângulo entre intercepto da demanda 100 e P_{c}=10, base Q_{c}=90):
CS_{c}=\tfrac{1}{2}\times(100-10)\times90=\tfrac{1}{2}\times90\times90=4050.
  1. Excedente do produtor competitivo: com P=MC e custo C(Q)=10Q, não há lucro econômico (por unidade preço = custo marginal), logo
PS_{c}=0.
  1. Excedente social total competitivo:
TS_{c}=CS_{c}+PS_{c}=4050+0=4050.

Passo 7

Comparação e interpretação final — perda de bem-estar (deadweight loss).
  1. Diferença entre excedente social competitivo e monopolista:
DWL=TS_{c}-TS_{m}=4050-3037{,}5=1012{,}5.
  1. Intuição geométrica: o DWL é a área do triângulo entre as quantidades Q_{m}=45 e Q_{c}=90, com altura P_{m}-MC=55-10=45:
DWL=\tfrac{1}{2}\times(Q_{c}-Q_{m})\times(P_{m}-MC) =\tfrac{1}{2}\times45\times45=1012{,}5,
confirmando o cálculo anterior.
Interpretação simples: o monopolista restringe a produção (45 vs 90) e aumenta o preço (55 vs 10), o que gera uma perda de bem-estar total de 1012{,}5 em comparação com o resultado competitivo.

Resposta

(a) Q_{m}=45,\;P_{m}=55
(b) \pi=2025
(c) Excedente social monopolista TS_{m}=3037{,}5; competitivo TS_{c}=4050; perda de bem-estar DWL=1012{,}5.

Exercícios relacionados