- Uma empresa monopolista enfrenta a demanda
e custo total
.
(a) Determine o preço e a quantidade de equilíbrio monopolista.
(b) Calcule o lucro do monopolista.
(c) Compare o excedente social com o caso competitivo
.
(a) Determine o preço e a quantidade de equilíbrio monopolista.
(b) Calcule o lucro do monopolista.
(c) Compare o excedente social com o caso competitivo
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi informado e o que precisa ser respondido.
Dados do enunciado:
- A função demanda é
. - O custo total é
.
O enunciado pede:
- (a) Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio do monopolista.
- (b) Calcular o lucro do monopolista.
- (c) Comparar o excedente social no caso monopolista com o caso competitivo (onde
).
Passo 2
Entendendo as ferramentas que vamos usar (passo-a-passo didático e sem pular etapas).
- Receita total (ou faturamento) é a demanda vezes a quantidade:
Explicação: isto dá quanto o monopolista recebe por vender
unidades.
- Receita marginal
é a derivada da receita total em relação a ; ela mede quanto a receita total aumenta se o monopolista vende uma unidade a mais:
Breve lembrete sobre derivada: derivar
dá
e derivar
dá
.
- Custo marginal
é a derivada do custo total em relação a :
Aqui
é constante e vale
por unidade adicional produzida.
- Regra de maximização do lucro (intuição): o monopolista escolhe
tal que . Por quê? Porque enquanto vender uma unidade adicional aumenta o lucro; quando vender mais reduz o lucro.
Passo 3
Aplicar a condição
para achar a quantidade monopolista
.
Escrevendo a equação:
Resolver passo a passo:
Portanto a quantidade de equilíbrio monopolista é
.
Agora calcular o preço correspondente usando a função demanda:
Interpretação rápida: o monopolista produz menos (
) do que num mercado competitivo típico (veremos depois), e cobra um preço maior (
).
Passo 4
Calcular receita total, custo total e lucro do monopolista de forma detalhada.
- Receita total no ponto ótimo:
Calculemos
passo a passo:
Então
.
- Custo total no ponto ótimo:
- Lucro
é receita total menos custo total:
Observação alternativa (atalho útil em prova): quando
é constante e igual a
, o lucro também pode ser obtido por
. Dá o mesmo resultado; mostrei ambos para você entender.
Passo 5
Calcular os excedentes no caso monopolista (explicação didática do que é cada peça).
- Excedente do consumidor (CS) é a área entre a curva de demanda e o preço pago, de
até . Geometricamente, com demanda linear, é um triângulo:
Calcule passo a passo:
Portanto
.
(Verificação por integral, para aprendizado:
.)
- Excedente do produtor (producer surplus) no nosso caso sem custos fixos é igual ao lucro (pois
e aqui ):
- Excedente social total no monopólio (somatório CS+PS):
Passo 6
Calcular o caso competitivo (comparação pedida) onde
.
Condição
:
Preço competitivo:
Calcular excedentes no caso competitivo:
- Excedente do consumidor competitivo (triângulo entre intercepto da demanda
e , base ):
- Excedente do produtor competitivo: com
e custo , não há lucro econômico (por unidade preço = custo marginal), logo
- Excedente social total competitivo:
Passo 7
Comparação e interpretação final — perda de bem-estar (deadweight loss).
- Diferença entre excedente social competitivo e monopolista:
- Intuição geométrica: o DWL é a área do triângulo entre as quantidades
e , com altura :
confirmando o cálculo anterior.
Interpretação simples: o monopolista restringe a produção (45 vs 90) e aumenta o preço (55 vs 10), o que gera uma perda de bem-estar total de
em comparação com o resultado competitivo.
Resposta
(a)
(b)
(c) Excedente social monopolista ; competitivo
; perda de bem-estar
.
(b)
(c) Excedente social monopolista