1. Uma empresa, observando sua produção e vendas, encontrou seu lucro marginal L^{\prime}(X)= 28-0.09 x^{2} quando x unidades de determinado produto são vendidas. A empresa sofre uma perda de R \ 500,00$ quando nenhuma unidade é vendida. Assim, encontre a função lucro.
    O lucro marginal L^{\prime}(x) é a derivada da função lucro total L(x). Assim, para encontrar L(x) integramos a função lucro marginal.
    L(x)=\int\left(28-0.09 x^{2}\right) d x
    L(x)=28 x-0.03 x^{3}+k
    Em x=0 a empresa sofre uma perda de R \ 500.00$.
    -500=28(0)-0.03(0)^{3}+k \Rightarrow k=-500

Passo 1

O enunciado nos dá o lucro marginal
L'(x)=28 - 0,09x^2
e pede a função lucro total L(x). Sabemos que L'(x) é a derivada de L(x), então basta integrar L'(x) e usar a condição L(0)=-500 para determinar a constante de integração.

Passo 2

Integramos L'(x):
L(x)=\int\bigl(28 - 0,09x^2\bigr)\,dx
Como
\int 28\,dx = 28x \quad\text{e}\quad \int 0,09x^2\,dx = 0,09\;\frac{x^3}{3}=0,03x^3,
temos
L(x)=28x - 0,03x^3 + k.

Passo 3

Usamos a condição de que em x=0 há perda de R$ 500, ou seja, L(0)=-500. Substituindo:
-500 = 28 \cdot 0 - 0,03 \cdot 0^3 + k \quad\Longrightarrow\quad k = -500.

Resposta

L(x)=28x - 0,03x^3 - 500.

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