Uma empresa propõe construir um motor térmico projetado para operar entre dois reservatórios de calor, sendo o quente a temperatura T_{1}=1.600 \mathrm{~K} e o frio a T_{2}=400 \mathrm{~K}. O projeto prevê para o motor uma potência de 4 cv com absorção de 1.480 \mathrm{cal} / \mathrm{s} do reservatório quente (dados: 1 \mathrm{cv}=740 \mathrm{~W} ; 1 \mathrm{cal}=4 \mathrm{~J} ).
a) Calcule o rendimento do referido motor.
b) Calcule o rendimento de um motor de Carnot operando entre os mesmos reservatórios de calor.
c) O motor proposto é viável teoricamente? Justifique sua resposta.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (copiando os valores dados pelo enunciado):
\;T_{1}=1.600\\ \mathrm{K} (reservatório quente), \;T_{2}=400\\ \mathrm{K} (reservatório frio).
Potência útil proposta do motor: \;4\\ \mathrm{cv}.
Calor absorvido do reservatório quente: \;1.480\\ \mathrm{cal/s}.
Constantes de conversão dadas: \;1\\ \mathrm{cv}=740\\ \mathrm{W} e \;1\\ \mathrm{cal}=4\\ \mathrm{J}.
Perguntas do enunciado:
a) Calcular o rendimento do motor proposto.
b) Calcular o rendimento de um motor de Carnot entre os mesmos reservatórios.
c) Dizer se o motor proposto é viável teoricamente e justificar.

Passo 2

Converto todas as unidades para SI (Watts) para facilitar cálculos.
Potência útil proposta:
\dot{W} = 4\\ \mathrm{cv} = 4\cdot 740\\ \mathrm{W} = 2960\\ \mathrm{W}.
Taxa de calor absorvida (energia por segundo) convertendo calorias para joules:
\dot{Q}_{\text{in}} = 1480\\ \mathrm{cal/s} = 1480\cdot 4\\ \mathrm{J/s} = 5920\\ \mathrm{W}.
Explicação curta: 1 watt é 1 joule por segundo, por isso J/s = W; agora temos \dot{W} e \dot{Q}_{\text{in}} na mesma unidade.

Passo 3

Definição do rendimento e cálculo do rendimento do motor proposto.
Conceito: o rendimento \eta de um motor térmico é a fração da energia térmica absorvida que é convertida em trabalho útil:
\eta=\frac{\dot{W}}{\dot{Q}_{\text{in}}}.
Substituo os valores que calculei:
\eta=\frac{2960}{5920}=0,50.
Interpretação: \eta=0,50, isto é 50\%. Na prática isso quer dizer que metade do calor absorvido é transformada em trabalho e a outra metade deve ser rejeitada ao reservatório frio.

Passo 4

Fórmula do rendimento de Carnot e cálculo.
Conceito e fórmula: para uma máquina reversível ideal (ciclo de Carnot) operando entre dois reservatórios isotérmicos, o rendimento máximo possível depende só das temperaturas absolutas e é dado por
\eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}},
onde T_{1} é a temperatura do reservatório quente e T_{2} a do frio (ambas em kelvin). Isso vem da termodinâmica: nenhuma máquina real pode ter rendimento maior que o de Carnot entre os mesmos dois reservatórios.
Calculo com os dados:
\eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{400}{1600}=1-0,25=0,75.
Ou seja, \eta_{\text{Carnot}}=0,75 = 75\%.

Passo 5

Comparação e justificativa da viabilidade teórica.
Primeiro comparo os rendimentos: \eta_{\text{proposto}}=50\% e \eta_{\text{Carnot}}=75\%. Como 50\%<75\%, o rendimento proposto é menor que o máximo permitido pela termodinâmica (Carnot), portanto não viola a segunda lei.
Faço um cálculo auxiliar útil: potência máxima extraível do calor fornecido se o motor fosse ideal (Carnot):
\dot{W}_{\max}=\eta_{\text{Carnot}}\cdot\dot{Q}_{\text{in}}=0,75\cdot 5920\\ \mathrm{W}=4440\\ \mathrm{W}.
Convertendo \dot{W}_{\max} para \mathrm{cv}:
\dot{W}_{\max}=\frac{4440}{740}\\ \mathrm{cv}=6\\ \mathrm{cv}.
Interpretação: com a mesma entrada de calor, o melhor motor possível (Carnot) entregaria até 4440\\ \mathrm{W} ou 6\\ \mathrm{cv}. O motor proposto entrega 2960\\ \mathrm{W} ( 4\\ \mathrm{cv}), bem abaixo desse limite, então é teoricamente possível.
Conclusão breve: não há violação teórica; o projeto é termodinamicamente admissível. (Obs.: isso não garante que seja prático ou econômico — só que não é proibido pela 2ª lei.)

Resposta

a) \eta=0,50=50\%
b) \eta_{\text{Carnot}}=0,75=75\%
c) Sim. O motor proposto é teoricamente viável porque \eta=50\%<\eta_{\text{Carnot}}=75\%; além disso a potência proposta ( 2960\\ \mathrm{W}=4\\ \mathrm{cv}) é menor que a potência máxima Carnot disponível ( 4440\\ \mathrm{W}=6\\ \mathrm{cv}).

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