Um irradiador ideal tem uma radiância espectral em
que é
vezes a sua radiância espectral a
. Qual a sua temperatura?
Qual seria a sua temperatura se a sua radiância espectral em
fosse
vezes a sua radiância espectral em
?
Qual seria a sua temperatura se a sua radiância espectral em
Passo 1
O enunciado dá duas situações com um irradiador ideal (isto é, corpo negro ideal) e pede a temperatura em cada caso. As informações são:
Pedem a temperatura do irradiador em cada situação.
Dados numéricos fornecidos explicitamente: comprimentos de onda e
, e a razão
.
Dados numéricos fornecidos explicitamente: comprimentos de onda
Passo 2
A fórmula que descreve a radiância espectral de um corpo negro por unidade de comprimento de onda é a Lei de Planck:
onde:
-
é a radiância espectral (energia por tempo, área, ângulo sólido e comprimento de onda), -
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz ( ), -
é a constante de Boltzmann ( ), -
é o comprimento de onda, -
é a temperatura em kelvin.
Nos dois casos usaremos essa lei e montaremos a razão entre radiâncias eme .
Passo 3
Vamos tomar
e
. Para qualquer
,
Como
, defina
Então
. Substituindo,
Use a identidade algébrica
logo
Portanto a razão simplifica para
com
.
Passo 4
Aqui a razão é
. Usando a fórmula obtida:
Multiplicando ambos os lados por
:
Logo
Passo 5
Vamos calcular
a partir de
. Da definição de
,
Usamos a constante combinada
(este valor vem de
, com decimais mostrados para precisão). Com
e
, temos
Arredondando razoavelmente:
(aproximadamente
).
Passo 6
Neste caso a razão que interessa na nossa fórmula é a inversa:
Chamando essa razão de
, temos
. Da fórmula geral
, obtemos
Multiplicando,
Passo 7
Calcule
. Então
logo
Usando novamente
Arredondando:
(aproximadamente
ou
).