Um irradiador ideal tem uma radiância espectral em
400 \mathrm{~nm}
que é
3,50
vezes a sua radiância espectral a
200 \mathrm{~nm}
. Qual a sua temperatura?
Qual seria a sua temperatura se a sua radiância espectral em
200 \mathrm{~nm}
fosse
3,50
vezes a sua radiância espectral em
400 \mathrm{~nm}
?

Passo 1

O enunciado dá duas situações com um irradiador ideal (isto é, corpo negro ideal) e pede a temperatura em cada caso. As informações são:
\text{(a)}\quad \text{A radiância espectral em } \(400\\ \mathrm{nm}\) \text{ é } \(3,50\) \text{ vezes a radiância em } \(200\\ \mathrm{nm}\).
\text{(b)}\quad \text{A radiância espectral em } \(200\\ \mathrm{nm}\) \text{ é } \(3,50\) \text{ vezes a radiância em } \(400\\ \mathrm{nm}\).
Pedem a temperatura do irradiador em cada situação.
Dados numéricos fornecidos explicitamente: comprimentos de onda 200\\ \mathrm{nm} e 400\\ \mathrm{nm}, e a razão 3,50.

Passo 2

A fórmula que descreve a radiância espectral de um corpo negro por unidade de comprimento de onda é a Lei de Planck:
B_\lambda(\lambda,T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\,\frac{1}{\exp\!\biggl(\dfrac{hc}{\lambda k T}\biggr)-1},
onde:
  • B_\lambda(\lambda,T) é a radiância espectral (energia por tempo, área, ângulo sólido e comprimento de onda),
  • h é a constante de Planck ( h=6,62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\\ s}),
  • c é a velocidade da luz ( c=2,99792458\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}),
  • k é a constante de Boltzmann ( k=1,380649\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K}),
  • \lambda é o comprimento de onda,
  • T é a temperatura em kelvin.
    Nos dois casos usaremos essa lei e montaremos a razão entre radiâncias em 400\\ \mathrm{nm} e 200\\ \mathrm{nm}.

Passo 3

Vamos tomar \lambda_1=400\\ \mathrm{nm} e \lambda_2=200\\ \mathrm{nm}. Para qualquer T,
\frac{B_\lambda(\lambda_1,T)}{B_\lambda(\lambda_2,T)} =\frac{\dfrac{2hc^2}{\lambda_1^5}\dfrac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda_1 k T}}-1}} {\dfrac{2hc^2}{\lambda_2^5}\dfrac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda_2 k T}}-1}} =\left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^5\frac{e^{\frac{hc}{\lambda_2 k T}}-1}{e^{\frac{hc}{\lambda_1 k T}}-1}.
Como \lambda_2=\tfrac{1}{2}\lambda_1, defina
x=\frac{hc}{\lambda_1 k T}.
Então \dfrac{hc}{\lambda_2 k T}=2x. Substituindo,
\frac{B_\lambda(\lambda_1,T)}{B_\lambda(\lambda_2,T)} =\left(\tfrac{1}{2}\right)^5\frac{e^{2x}-1}{e^{x}-1}=\frac{1}{32}\cdot\frac{e^{2x}-1}{e^{x}-1}.
Use a identidade algébrica
e^{2x}-1=(e^{x}-1)(e^{x}+1),
logo
\frac{e^{2x}-1}{e^{x}-1}=e^{x}+1.
Portanto a razão simplifica para
\frac{B_\lambda(\lambda_1,T)}{B_\lambda(\lambda_2,T)}=\frac{e^{x}+1}{32},
com x=\dfrac{hc}{\lambda_1 k T}.

Passo 4

Aqui a razão é 3,50. Usando a fórmula obtida:
\frac{e^{x}+1}{32}=3,50.
Multiplicando ambos os lados por 32:
e^{x}+1=32\cdot 3,50=112.
Logo
e^{x}=111\quad\Rightarrow\quad x=\ln 111.

Passo 5

Vamos calcular T a partir de x. Da definição de x,
T=\frac{hc}{\lambda_1 k x}.
Usamos a constante combinada
\frac{hc}{k}=0,01438776877\\ \mathrm{m\\ K}
(este valor vem de h c / k, com decimais mostrados para precisão). Com \lambda_1=400\\ \mathrm{nm}=4{,}0\times 10^{-7}\\ \mathrm{m} e x=\ln 111\approx 4{,}70953, temos
T=\frac{0,01438776877}{(4{,}0\times 10^{-7})\cdot 4{,}70953} =\frac{0,01438776877}{1{,}883812\times 10^{-6}}\approx 7{,}64\times 10^{3}\\ \mathrm{K}.
Arredondando razoavelmente: T\approx 7{,}64\times 10^{3}\\ \mathrm{K} (aproximadamente 7640\\ \mathrm{K}).

Passo 6

Neste caso a razão que interessa na nossa fórmula é a inversa:
\frac{B_\lambda(400\\ \mathrm{nm})}{B_\lambda(200\\ \mathrm{nm})}=\frac{1}{3,50}.
Chamando essa razão de R, temos R=\dfrac{1}{3,50}. Da fórmula geral \dfrac{B_\lambda(\lambda_1)}{B_\lambda(\lambda_2)}=\dfrac{e^{x}+1}{32}, obtemos
\frac{e^{x}+1}{32}=R=\frac{1}{3{,}50}.
Multiplicando,
e^{x}+1=32R\quad\Rightarrow\quad e^{x}=32R-1.

Passo 7

Calcule R=\dfrac{1}{3{,}50}\approx 0{,}2857142857. Então
32R-1=32\cdot 0{,}2857142857-1=9{,}1428571429-1=8{,}1428571429,
logo
e^{x}=8{,}1428571429\quad\Rightarrow\quad x=\ln(8{,}1428571429)\approx 2{,}09714.
Usando novamente
T=\frac{hc}{\lambda_1 k x}=\frac{0,01438776877}{(4{,}0\times 10^{-7})\cdot 2{,}09714} =\frac{0,01438776877}{8{,}388562\times 10^{-7}}\approx 1{,}71\times 10^{4}\\ \mathrm{K}.
Arredondando: T\approx 1{,}71\times 10^{4}\\ \mathrm{K} (aproximadamente 1,71\times 10^{4}\\ \mathrm{K} ou 17150\\ \mathrm{K}).

Resposta

T\approx 7,64\times 10^{3}\\ \mathrm{K}
T\approx 1,71\times 10^{4}\\ \mathrm{K}

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