Uma empresa sorteia prêmios entre os funcionários como reconhecimento pelo tempo trabalhado. A tabela mostra a distribuição de frequência de 20 empregados dessa empresa que têm de 25 a 35 anos trabalhados. A empresa sorteou, entre esses empregados, uma viagem de uma semana, sendo dois deles escolhidos aleatoriamente. Qual a probabilidade de que ambos os sorteados tenham 34 anos de trabalho?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre uma empresa que tem 20 funcionários com entre 25 e 35 anos de trabalho. Eles vão sortear 2 funcionários para uma viagem de uma semana. A pergunta é: qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham exatamente 34 anos de trabalho? Vamos usar conceitos de probabilidade e combinações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quantos funcionários têm 34 anos de trabalho. Suponha que, na tabela de frequência, $ n $ seja o número de funcionários com 34 anos de trabalho.

Passo 3

A probabilidade que queremos é de escolher 2 funcionários entre os que têm 34 anos, dentre os 20 funcionários totais. Para isso, vamos usar a fórmula de combinação, que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos escolher um grupo de itens sem importar a ordem.
A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde:
  • $ n $ é o total de itens,
  • $ k $ é o número de itens a serem escolhidos,
  • $ ! $ representa o fatorial.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o número de maneiras de escolher 2 funcionários com 34 anos:
C(n, 2) = n!2!(n - 2)! = n times (n - 1)2

Passo 5

Agora, vamos calcular o número total de maneiras de escolher 2 funcionários entre os 20:
C(20, 2) = 20!2!(20 - 2)! = 20 times 192 = 190

Passo 6

A probabilidade de ambos os sorteados terem 34 anos de trabalho é a razão entre as combinações favoráveis e o total de combinações possíveis:
P = C(n, 2)C(20, 2) = n times (n - 1)2190 = n times (n - 1)380

Passo 7

Finalmente, substituímos o valor de $ n $ (número de funcionários com 34 anos) na fórmula acima para encontrar a probabilidade.

Resposta

A probabilidade de que ambos os sorteados tenham 34 anos de trabalho é $ \frac{n \times (n - 1)}{380} n times (n - 1)380 n $ é o número de funcionários com 34 anos na empresa.

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