1. Uma empresa de tecnologia está analisando o tempo necessário para que um software especifico seja adotado por novos usuários. A empresa acredita que o tempo de adoção, medido em dias, segue uma distribuição lognormal com parâmetros \mu=2 e \sigma=0,5.
    a) [0,75 ponto ] Se a empresa quiser identificar o tempo de adoção que representa - 90^{\circ} percentil, qual seria esse valor?
    b) [0,75 ponto ] Suponha que o tempo de adoçao tenha que ser inferior a 10 dias para que o lançamento do software seja considerado um sucesso. Qual é a probabilidade de sucesso do lançamento com base no modelo lognormal?
    c) [ 0,5 ponto] Calcule a média, a moda e a mediana, e represente-as no gráfico da fdp (esboçando o comportamento adequado da curva).

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de adoção X (em dias) segue uma distribuição lognormal com parâmetros \mu=2 e \sigma=0,5. Vamos precisar de:
– Fórmula do percentil de ordem p:
x_p = \exp\bigl(\mu + z_p\,\sigma\bigr),
onde z_p é o p-ésimo quantil da normal padrão.
– Cálculo de P(X< x) pela normal em \ln X.
– As fórmulas das medidas de tendência central:
\text{média }E[X]=\exp\bigl(\mu+\tfrac{\sigma^2}{2}\bigr),\quad \text{mediana}=\exp(\mu),\quad \text{moda}=\exp(\mu-\sigma^2).é

Passo 2

Para achar o 90\%-ésimo percentil calcula-se
z_{0,9} = \Phi^{-1}(0,9) \approx 1,2816,
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x_{0,9} = \exp\bigl(2 + 1,2816 \cdot 0,5\bigr) = \exp(2,6408) \approx 14,0\\ \text{ dias.}

Passo 3

A probabilidade de X<10 é
P(X<10) = P\bigl(\ln X < \ln10\bigr) = \Phi\!\Bigl(\tfrac{\ln10 - 2}{0,5}\Bigr).
Como \ln10\approx2{,}3026,
\tfrac{\ln10-2}{0,5}\approx0{,}6052,
então
P(X<10)\approx\Phi(0{,}6052)\approx0{,}73.

Passo 4

Calculando as medidas de tendência central:
E[X] =\exp\Bigl(2 + \tfrac{0,5^2}{2}\Bigr) =\exp(2{,}125) \approx8{,}38,
\text{mediana} =\exp(2) \approx7{,}39,
\text{moda} =\exp\bigl(2 - 0,5^2\bigr) =\exp(1{,}75) \approx5{,}75.

Passo 5

A fdp de uma lognormal é assimétrica à direita, com pico em x=moda e caindo lentamente para a direita. Num esboço:
– Marque uma reta vertical em x\approx5{,}75 (moda), onde a curva atinge o máximo.
– Marque outra em x\approx7{,}39 (mediana), à direita da moda.
– Marque uma terceira em x\approx8{,}38 (média), ainda mais à direita.
A sequência na base x é moda < mediana < média, refletindo o viés à direita.

Resposta

a) x_{0,9}=\exp(2 + 1,2816\cdot0,5)\approx14{,}0 dias.
b) P(X<10)=\Phi\bigl((\ln10 - 2)/0,5\bigr)\approx0{,}73.
c)
\displaystyle E[X]\approx8{,}38,\quad \text{mediana}\approx7{,}39,\quad \text{moda}\approx5{,}75.
No gráfico da fdp, essas três medidas são marcadas na ordem moda < mediana < média, em um pico assimétrico à direita.

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