1. Uma empresa está testando a durabilidade de um novo tipo de componente eletrônico. A vida útil (em horas) desses componentes é modelada por uma distribuição Weibull com parâmetro de forma \alpha=1.5 e parâmetro de escala \beta=2000 horas.
    a) [0,5 ponto] Qual é a probabilidade de um componente durar mais de 2500 horas?
    b) [0,5 ponto ] Calcule a mediana da vida útil dos componentes.
    c) [0,5 ponto ] Se a empresa deseja garantir que 95 \% dos componentes durem pelo menos um determinado tempo, qual deve ser esse tempo minimo garantido?
    d) [0,5 ponto ] O comportamento da fdp desta distribuição é crescente e descrescente ou apenas decrescente? Por quê?
\begin{array}{r} f(x ; \alpha, \beta)=\frac{\alpha}{\beta^{\alpha}} x^{\alpha-1} e^{-\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha}}, x \geq 0 \\ \quad F(x ; \alpha, \beta)=1-e^{-\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha}}, x \geq 0 \end{array}

Passo 1

O enunciado diz que a vida útil X dos componentes segue uma distribuição Weibull com parâmetro de forma \alpha=1{,}5 e parâmetro de escala \beta=2000 horas. Precisamos calcular:
a) P(X>2500) usando a função de sobrevivência
b) a mediana de X invertendo a função de distribuição acumulada
c) o tempo t tal que P(X>t)=0{,}95 (percentil de sobrevivência)
d) o comportamento da densidade f(x) em função de \alpha.
Usaremos
S(x)=P(X>x)=e^{-(x/\beta)^{\alpha}}
e a inversão de
F(x)=1-e^{-(x/\beta)^{\alpha}}\,.

Passo 2

Para a parte (a),
P(X>2500)=S(2500) =e^{-\bigl(\tfrac{2500}{2000}\bigr)^{1{,}5}} =e^{-1{,}25^{1{,}5}}\,.
Como 1{,}25^{1{,}5}\approx1{,}3975,
P(X>2500)\approx e^{-1{,}3975}\approx0{,}2478\quad(24{,}78\%).

Passo 3

Para a parte (b), a mediana m satisfaz F(m)=0{,}5, logo
0{,}5=1-e^{-(m/\beta)^{\alpha}} \quad\Longrightarrow\quad e^{-(m/2000)^{1{,}5}}=0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad (m/2000)^{1{,}5}=\ln2
m=2000\,(\ln2)^{1/1{,}5} \approx2000\cdot0{,}7833\approx1566{,}6\text{ horas.}

Passo 4

Para a parte (c), queremos P(X>t)=0{,}95, isto é
e^{-(t/2000)^{1{,}5}}=0{,}95 \quad\Longrightarrow\quad (t/2000)^{1{,}5}=-\ln(0{,}95)
t=2000\,[-\ln(0{,}95)]^{1/1{,}5} \approx2000\cdot0{,}1384\approx276{,}8\text{ horas.}

Passo 5

Para a parte (d), a forma de f(x) é
f(x)=\frac{\alpha}{\beta^{\alpha}}\,x^{\alpha-1}e^{-(x/\beta)^{\alpha}}.
Quando \alpha>1, a função f(x) cresce no início (pois x^{\alpha-1} domina) até atingir o modo
x_{\text{modo}} =\beta\Bigl(\tfrac{\alpha-1}{\alpha}\Bigr)^{1/\alpha}
e depois decresce exponencialmente. Portanto a densidade é inicialmente crescente e depois decrescente.

Resposta

a) P(X>2500)\approx0{,}2478.
b) \text{mediana}\approx1566{,}6 horas.
c) \text{tempo mínimo}=276{,}8í horas.
d) f(x) é crescente até x=\beta\bigl(\tfrac{\alpha-1}{\alpha}\bigr)^{1/\alpha} e depois decrescente, pois \alpha=1{,}5>1.

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