A soma dos inteiros a e b termina por um zero. Mostre que os quadrados a^{2} e b^{2} terminam pelo mesmo algarismo.

Passo 1

O enunciado diz que a soma dos inteiros a e b “termina por zero”, ou seja,
a + b \equiv 0 \pmod{10}.
Queremos mostrar que os quadrados \,a^2 e \,b^2 têm o mesmo algarismo final, o que equivale a provar
a^2 \equiv b^2 \pmod{10}.
O conteúdo principal aqui é aritmética modular, em particular propriedades de congruências em \bmod 10.

Passo 2

Da congruência
a + b \equiv 0 \pmod{10}
segue que
a \equiv -b \pmod{10},
pois basta subtrair b dos dois lados para manter a relação módulo 10.

Passo 3

Elevando a congruência anterior ao quadrado, usamos que ({-}b)^2 = b^2. Assim, obtemos
a^2 \equiv (-b)^2 \equiv b^2 \pmod{10}.
Isso mostra que a^2 e b^2 deixam o mesmo resto na divisão por 10, ou seja, terminam pelo mesmo algarismo.

Resposta

Como a^2 \equiv b^2 \pmod{10}, os quadrados de a e b têm o mesmo algarismo final.

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