A soma dos inteiros a e b termina por um zero. Mostre que os quadrados
e
terminam pelo mesmo algarismo.
Passo 1
O enunciado diz que a soma dos inteiros
e
“termina por zero”, ou seja,
Queremos mostrar que os quadrados
e
têm o mesmo algarismo final, o que equivale a provar
O conteúdo principal aqui é aritmética modular, em particular propriedades de congruências em
.
Passo 2
Da congruência
segue que
pois basta subtrair
dos dois lados para manter a relação módulo 10.
Passo 3
Elevando a congruência anterior ao quadrado, usamos que
. Assim, obtemos
Isso mostra que
e
deixam o mesmo resto na divisão por 10, ou seja, terminam pelo mesmo algarismo.
Resposta
Como
, os quadrados de
e
têm o mesmo algarismo final.