Uma empresa que trabalha com mármores e granitos fabrica soleiras e peitoris. Ela repassa para os revendedores tendo um lucro de
7,00
\mathrm{R} $8,50
0,6 \mathrm{~m} 2
0,8 \mathrm{~m} 2$. A empresa dispõe de 16 m 2 de granito diariamente para fazer a peças e tem 5 funcionários que trabalham 6 horas por dia. Na confecção de uma soleira gastam-se 24 minutos e na confecção de um peitoril 20 minutos. Sabendo que toda a produção da empresa é absorvida pelo mercado, construa o modelo matemático de produção diária que maximiza o lucro da empresa.
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede. Pergunta principal: construir o modelo matemático diário que maximiza o lucro da empresa.
Informações do enunciado (todas em forma numérica, peguei esses dados do enunciado):
- Lucro por soleira:
. - Lucro por peitoril:
. - Área por soleira:
. - Área por peitoril:
. - Granito disponível por dia:
. - Funcionários:
funcionários, horas por dia cada um. - Tempo de fabricação por soleira:
minutos. - Tempo de fabricação por peitoril:
minutos. - Observação do enunciado: toda a produção é absorvida pelo mercado (ou seja, sem limite de demanda).
O que o enunciado pede: montar o modelo matemático (função objetivo + restrições) para maximizar o lucro diário da empresa.
Passo 2
Escolher variáveis (simples e diretas). Vou definir:
-
= número de soleiras produzidas por dia. -
= número de peitoris produzidos por dia.
Explicação didática: em problemas de produção, cada variável representa a quantidade de um produto. Aqui cada unidade (uma soleira ou um peitoril) gera um lucro conhecido e consome recursos conhecidos (área e tempo). O objetivo é decidir quantas unidades produzir de cada tipo para maximizar o lucro respeitando limites de recursos.
Observação sobre integridade:
e
representam quantidades de peças e na prática seriam inteiros não negativos. Em modelos lineares clássicos costuma-se escrever a versão contínua (com
); se for necessário, depois impõe-se integridade (
). Aqui o enunciado pede o modelo, então vou apresentar a versão padrão de programação linear (com não-negatividade).
Passo 3
Construir a função objetivo (a que devemos maximizar).
Cada soleira dá
, cada peitoril dá
. Logo o lucro total diário
(em reais) dado pelas quantidades
e
é:
Explicando coeficientes: o número
multiplica
porque cada soleira adiciona R$7 ao lucro;
multiplica
porque cada peitoril adiciona R$8,50.
Passo 4
Montar a restrição de material (área de granito).
Cada soleira consome
e cada peitoril consome
. Há
disponíveis por dia. Portanto a soma das áreas consumidas não pode exceder
:
Explicação didática: multiplicar quantidade pela área unitária dá a área total consumida por cada tipo; somar para os dois tipos e impor que seja menor ou igual ao total disponível.
Passo 5
Montar a restrição de tempo de trabalho (mão de obra).
Cada funcionário trabalha
horas por dia. Com
funcionários, o total de horas disponíveis é
horas por dia. É mais prático trabalhar em minutos porque os tempos por peça são em minutos:
horas =
minutos.
Cada soleira toma
minutos e cada peitoril toma
minutos. Então o tempo total gasto é
minutos e não pode ultrapassar
minutos:
Dica prática: é comum simplificar essa desigualdade dividindo todos os termos por
para números menores:
que é equivalente e mais fácil de manipular se precisar resolver à mão.
Passo 6
Condições de não-negatividade e observação sobre integridade.
Devemos ter quantidades não negativas:
Observação didática: se for exigido que as quantidades sejam inteiras, acrescenta-se
. Em muitos modelos LP a relaxação contínua já dá uma boa indicação da solução.
Passo 7
Resumo do modelo (explicando a interpretação final).
Temos uma programação linear de maximização: a função objetivo é o lucro total a ser maximizado; as restrições representam os recursos limitados (área e tempo) e a não-negatividade.
Se for preciso resolver o modelo graficamente (caso com duas variáveis) ou por método simplex, usa-se estas equações. Para uma resolução rápida por canto (solução ótima ocorre num vértice da região viável), calcula-se os pontos de interseção das retas-formadoras das restrições e avalia-se
neles.
Resposta
Maximizar
sujeito a