Uma empresa que trabalha com mármores e granitos fabrica soleiras e peitoris. Ela repassa para os revendedores tendo um lucro de \mathrm{R} \ 7,00 por soleira e\mathrm{R} $8,50 por peitoril. Cada soleira tem0,6 \mathrm{~m} 2 de área e cada peitoril tem área deáá0,8 \mathrm{~m} 2$. A empresa dispõe de 16 m 2 de granito diariamente para fazer a peças e tem 5 funcionários que trabalham 6 horas por dia. Na confecção de uma soleira gastam-se 24 minutos e na confecção de um peitoril 20 minutos. Sabendo que toda a produção da empresa é absorvida pelo mercado, construa o modelo matemático de produção diária que maximiza o lucro da empresa.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede. Pergunta principal: construir o modelo matemático diário que maximiza o lucro da empresa.
Informações do enunciado (todas em forma numérica, peguei esses dados do enunciado):
  • Lucro por soleira: \mathrm{R}\$\,7{,}00.
  • Lucro por peitoril: \mathrm{R}\$\,8{,}50.
  • Área por soleira: 0,6\\ \mathrm{m}^2.
  • Área por peitoril: 0,8\\ \mathrm{m}^2.
  • Granito disponível por dia: 16\\ \mathrm{m}^2.
  • Funcionários: 5 funcionários, 6 horas por dia cada um.
  • Tempo de fabricação por soleira: 24 minutos.
  • Tempo de fabricação por peitoril: 20 minutos.
  • Observação do enunciado: toda a produção é absorvida pelo mercado (ou seja, sem limite de demanda).
O que o enunciado pede: montar o modelo matemático (função objetivo + restrições) para maximizar o lucro diário da empresa.

Passo 2

Escolher variáveis (simples e diretas). Vou definir:
  • x = número de soleiras produzidas por dia.
  • y = número de peitoris produzidos por dia.
Explicação didática: em problemas de produção, cada variável representa a quantidade de um produto. Aqui cada unidade (uma soleira ou um peitoril) gera um lucro conhecido e consome recursos conhecidos (área e tempo). O objetivo é decidir quantas unidades produzir de cada tipo para maximizar o lucro respeitando limites de recursos.
Observação sobre integridade: x e y representam quantidades de peças e na prática seriam inteiros não negativos. Em modelos lineares clássicos costuma-se escrever a versão contínua (com x,y\ge0); se for necessário, depois impõe-se integridade ( x,y\in\mathbb{Z}_{\ge0}). Aqui o enunciado pede o modelo, então vou apresentar a versão padrão de programação linear (com não-negatividade).

Passo 3

Construir a função objetivo (a que devemos maximizar).
Cada soleira dá \mathrm{R}\$\,7{,}00, cada peitoril dá \mathrm{R}\$\,8{,}50. Logo o lucro total diário L (em reais) dado pelas quantidades x e y é:
L(x,y)=7\,x + 8{,}5\,y.
Explicando coeficientes: o número 7 multiplica x porque cada soleira adiciona R$7 ao lucro; 8{,}5 multiplica y porque cada peitoril adiciona R$8,50.

Passo 4

Montar a restrição de material (área de granito).
Cada soleira consome 0,6\\ \mathrm{m}^2 e cada peitoril consome 0,8\\ \mathrm{m}^2. Há 16\\ \mathrm{m}^2 disponíveis por dia. Portanto a soma das áreas consumidas não pode exceder 16:
0{,}6\,x + 0{,}8\,y \le 16.
Explicação didática: multiplicar quantidade pela área unitária dá a área total consumida por cada tipo; somar para os dois tipos e impor que seja menor ou igual ao total disponível.

Passo 5

Montar a restrição de tempo de trabalho (mão de obra).
Cada funcionário trabalha 6 horas por dia. Com 5 funcionários, o total de horas disponíveis é 5\times 6 = 30 horas por dia. É mais prático trabalhar em minutos porque os tempos por peça são em minutos: 30 horas = 30\times 60 = 1800 minutos.
Cada soleira toma 24 minutos e cada peitoril toma 20 minutos. Então o tempo total gasto é 24x + 20y minutos e não pode ultrapassar 1800 minutos:
24\,x + 20\,y \le 1800.
Dica prática: é comum simplificar essa desigualdade dividindo todos os termos por 4 para números menores:
6\,x + 5\,y \le 450,
que é equivalente e mais fácil de manipular se precisar resolver à mão.

Passo 6

Condições de não-negatividade e observação sobre integridade.
Devemos ter quantidades não negativas:
x \ge 0,\qquad y \ge 0.
Observação didática: se for exigido que as quantidades sejam inteiras, acrescenta-se x,y\in\mathbb{Z}_{\ge0}. Em muitos modelos LP a relaxação contínua já dá uma boa indicação da solução.

Passo 7

Resumo do modelo (explicando a interpretação final).
Temos uma programação linear de maximização: a função objetivo é o lucro total a ser maximizado; as restrições representam os recursos limitados (área e tempo) e a não-negatividade.
Se for preciso resolver o modelo graficamente (caso com duas variáveis) ou por método simplex, usa-se estas equações. Para uma resolução rápida por canto (solução ótima ocorre num vértice da região viável), calcula-se os pontos de interseção das retas-formadoras das restrições e avalia-se L neles.

Resposta

Maximizar \;L(x,y)=7\,x + 8{,}5\,y
sujeito a
0{,}6\,x + 0{,}8\,y \le 16,
24\,x + 20\,y \le 1800,
x \ge 0,\quad y \ge 0.

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