Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente, a oficina faz apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, vamos considerar que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir.
O processo de produção é tal que, para fazer uma mesa a fábrica gasta
de madeira e 2 H.h de mão-de-obra. Para fazer um armário, a fábrica gasta
de madeira e 1 H.h de mão de obra. Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuição para o lucro de
4
\mathrm{R} $1$. O problema é encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro.
a) Elabore a montagem do modelo;
a) Elabore a montagem do modelo;
Passo 1
O enunciado pede para montar o modelo de programação linear que representa o problema de decidir quantas mesas e quantos armários produzir por dia para maximizar a margem de contribuição total. Informações que o enunciado dá (peguei estes dados do texto):
-
Recursos e disponibilidades: o enunciado diz que existem limitações em madeira e em mão-de-obra cujas disponibilidades diárias “são mostradas na tabela a seguir”, porém a tabela não foi enviada. Portanto vou representar simbolicamente as disponibilidades por
(madeira disponível em por dia) e (horas-homem disponíveis por dia). Se você tiver os números da tabela, depois é só substituir esses símbolos pelos valores numéricos. -
Consumo de recursos por produto:
- Para cada mesa:
de madeira e H.h de mão-de-obra. - Para cada armário:
de madeira e H.h de mão-de-obra.
- Para cada mesa:
-
Margem de contribuição (lucro por unidade):
- Mesa:
por unidade. - Armário:
por unidade.
- Mesa:
Pergunta feita na parte (a): “Elabore a montagem do modelo” — ou seja, definir as variáveis de decisão, a função objetivo e as restrições do problema.
Passo 2
Definir as variáveis de decisão (passo obrigatório e simples de entender). Vou escolher nomes claros e dizer o que representam:
-
= número de mesas a produzir por dia (unidades). -
= número de armários a produzir por dia (unidades).
Observação didática: nas provas é importante explicar em palavras o que cada variável representa (unidade, horizonte de tempo). Aqui ambas as variáveis têm que ser não-negativas porque não se pode produzir quantidade negativa.
Passo 3
Montar a função objetivo (o que queremos otimizar). A empresa quer maximizar a margem de contribuição total diária. Cada mesa contribui com
e cada armário com
. Somando as contribuições:
Em termos de programação linear escrevemos a função objetivo como:
Explicação didática: o coeficiente de
na função objetivo é o lucro por unidade de mesa; o coeficiente de
é o lucro por unidade de armário. Maximizar
significa escolher
e
que dêem o maior lucro possível respeitando as limitações de recursos.
Passo 4
Montar as restrições de recursos a partir do consumo por unidade (aqui mostramos como traduzir consumo em equações):
- Restrição de madeira. Cada mesa usa
e cada armário usa . A madeira total consumida não pode exceder a madeira disponível . Assim:
Comentário: os coeficientes
e
vêm diretamente do enunciado (consumo por unidade). O sinal
indica que o consumo não pode ultrapassar a disponibilidade.
- Restrição de mão-de-obra. Cada mesa usa
H.h e cada armário usa H.h. A soma não pode exceder . Assim:
Unidades: a desigualdade tem sentido porque ambos os lados estão em horas-homem.
Passo 5
Condições adicionais (não-negatividade e observação sobre integridade):
- Não-negatividade:
Explicação didática: em programação linear sempre incluímos
quando variáveis representam quantidades físicas.
- Observação sobre inteiros: se a produção precisa ser um número inteiro de peças (não se admite produzir fração de mesa), então o problema real torna-se um problema de programação inteira. Na montagem clássica de programação linear deixamos as variáveis contínuas; se for necessário, na prova ou aplicação substitua por
.
Passo 6
Resumo final do modelo em forma padrão (já com todos os termos explicados). Este é o modelo que você apresentaria na prova: variáveis, função objetivo e restrições, pronto para ser resolvido (algebricamente, por gráfico, ou por método simplex dependendo do que for pedido).