Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente, a oficina faz apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, vamos considerar que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir.
O processo de produção é tal que, para fazer uma mesa a fábrica gasta 2 \mathrm{~m}^{2} de madeira e 2 H.h de mão-de-obra. Para fazer um armário, a fábrica gasta 3 \mathrm{~m}^{2} de madeira e 1 H.h de mão de obra. Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuição para o lucro de \mathrm{R} \ 4 e cada armário deá\mathrm{R} $1$. O problema é encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro.
a) Elabore a montagem do modelo;

Passo 1

O enunciado pede para montar o modelo de programação linear que representa o problema de decidir quantas mesas e quantos armários produzir por dia para maximizar a margem de contribuição total. Informações que o enunciado dá (peguei estes dados do texto):
  • Recursos e disponibilidades: o enunciado diz que existem limitações em madeira e em mão-de-obra cujas disponibilidades diárias “são mostradas na tabela a seguir”, porém a tabela não foi enviada. Portanto vou representar simbolicamente as disponibilidades por M_{\text{disp}} (madeira disponível em \mathrm{m}^2 por dia) e H_{\text{disp}} (horas-homem disponíveis por dia). Se você tiver os números da tabela, depois é só substituir esses símbolos pelos valores numéricos.
  • Consumo de recursos por produto:
    • Para cada mesa: 2\\ \mathrm{m}^2 de madeira e 2 H.h de mão-de-obra.
    • Para cada armário: 3\\ \mathrm{m}^2 de madeira e 1 H.h de mão-de-obra.
  • Margem de contribuição (lucro por unidade):
    • Mesa: R\$\,4 por unidade.
    • Armário: R\$\,1 por unidade.
Pergunta feita na parte (a): “Elabore a montagem do modelo” — ou seja, definir as variáveis de decisão, a função objetivo e as restrições do problema.

Passo 2

Definir as variáveis de decisão (passo obrigatório e simples de entender). Vou escolher nomes claros e dizer o que representam:
  • x = número de mesas a produzir por dia (unidades).
  • y = número de armários a produzir por dia (unidades).
Observação didática: nas provas é importante explicar em palavras o que cada variável representa (unidade, horizonte de tempo). Aqui ambas as variáveis têm que ser não-negativas porque não se pode produzir quantidade negativa.

Passo 3

Montar a função objetivo (o que queremos otimizar). A empresa quer maximizar a margem de contribuição total diária. Cada mesa contribui com R\$\,4 e cada armário com R\$\,1. Somando as contribuições:
\text{Margem total} = 4\cdot x + 1\cdot y.
Em termos de programação linear escrevemos a função objetivo como:
\text{Maximizar}\quad Z = 4x + y.
Explicação didática: o coeficiente de x na função objetivo é o lucro por unidade de mesa; o coeficiente de y é o lucro por unidade de armário. Maximizar Z significa escolher x e y que dêem o maior lucro possível respeitando as limitações de recursos.

Passo 4

Montar as restrições de recursos a partir do consumo por unidade (aqui mostramos como traduzir consumo em equações):
  • Restrição de madeira. Cada mesa usa 2\\ \mathrm{m}^2 e cada armário usa 3\\ \mathrm{m}^2. A madeira total consumida não pode exceder a madeira disponível M_{\text{disp}}. Assim:
2x + 3y \le M_{\text{disp}}.
Comentário: os coeficientes 2 e 3 vêm diretamente do enunciado (consumo por unidade). O sinal \le indica que o consumo não pode ultrapassar a disponibilidade.
  • Restrição de mão-de-obra. Cada mesa usa 2 H.h e cada armário usa 1 H.h. A soma não pode exceder H_{\text{disp}}. Assim:
2x + y \le H_{\text{disp}}.
Unidades: a desigualdade tem sentido porque ambos os lados estão em horas-homem.

Passo 5

Condições adicionais (não-negatividade e observação sobre integridade):
  • Não-negatividade:
x \ge 0,\qquad y \ge 0.
Explicação didática: em programação linear sempre incluímos x,y \ge 0 quando variáveis representam quantidades físicas.
  • Observação sobre inteiros: se a produção precisa ser um número inteiro de peças (não se admite produzir fração de mesa), então o problema real torna-se um problema de programação inteira. Na montagem clássica de programação linear deixamos as variáveis contínuas; se for necessário, na prova ou aplicação substitua por x,y\in\mathbb{Z}_{\ge0}.

Passo 6

Resumo final do modelo em forma padrão (já com todos os termos explicados). Este é o modelo que você apresentaria na prova: variáveis, função objetivo e restrições, pronto para ser resolvido (algebricamente, por gráfico, ou por método simplex dependendo do que for pedido).

Resposta

\text{Maximizar}\quad Z = 4x + y
\text{sujeito a}
2x + 3y \le M_{\text{disp}}
2x + y \le H_{\text{disp}}
x \ge 0,\quad y \ge 0

Exercícios relacionados