Uma alfaiataria produz dois tipos de ternos masculinos com tecido externo de linho e forro de poliéster. O modelo com corte italiano consome cerca de 4 m de linho e
de poliéster, já o modelo com corte inglês necessita de cerca de
de linho e
de poliéster. A disponibilidade mensal de linho é de 40 m , de poliéster é 35 m . O custo de produção de um terno com corte italiano é de
. Elabore um modelo de Programação Linear para minimizar os custos de produção mensal, sabendo que, pelo menos, 4 ternos do modelo italiano devem ser produzidos.
Passo 1
O enunciado pede que se elabore um modelo de Programação Linear cuja finalidade é minimizar o custo de produção mensal, dado um conjunto de informações sobre consumo de tecido e disponibilidade. Vou listar claramente os dados fornecidos (peguei esses números do enunciado):
- Dois tipos de ternos: corte italiano e corte inglês.
- Consumo de linho:
- Corte italiano:
de linho por terno. - Corte inglês:
de linho por terno.
- Corte italiano:
- Consumo de poliéster:
- Corte italiano:
de poliéster por terno. - Corte inglês:
de poliéster por terno.
- Corte italiano:
- Disponibilidade mensal:
- Linho:
. - Poliéster:
.
- Linho:
- Custo de produção (por terno):
- Corte italiano: R$
. - Corte inglês: R$
.
- Corte italiano: R$
- Restrição adicional: pelo menos
ternos do modelo italiano devem ser produzidos.
As perguntas implícitas do enunciado são:
- Quais são as variáveis de decisão?
- Qual a função objetivo (minimizar custo total)?
- Quais são as restrições (recursos e produção mínima)?
- Quais condições explícitas sobre sinais/inteiros?
Passo 2
Escolher e definir as variáveis de decisão — etapa fundamental para traduzir o enunciado em matemática. As variáveis devem representar exatamente aquilo que podemos controlar (quantos ternos produzir de cada tipo).
Definição das variáveis (unidades: número de ternos por mês):
- Seja
o número de ternos do modelo com corte italiano produzidos por mês. - Seja
o número de ternos do modelo com corte inglês produzidos por mês.
Explicação didática: em Programação Linear, as variáveis de decisão representam quantidades que podemos escolher. Aqui queremos decidir quantos ternos de cada modelo produzir para minimizar custo, respeitando limites de tecido. Sempre indique a unidade (aqui: ternos/mês).
Passo 3
Montar a função objetivo — aqui queremos minimizar o custo de produção mensal total.
Cada terno italiano custa R$
e cada terno inglês custa R$
. O custo total é a soma desses custos multiplicados pelas quantidades produzidas.
Escrevendo a função objetivo:
Explicação didática: a função objetivo é linear (uma soma de termos do tipo coeficiente
variável). Minimizar significa escolher valores de
que tornem
o menor possível, sujeitando-se às restrições.
Passo 4
Formular a restrição de disponibilidade de linho.
Cada terno italiano consome
de linho; cada terno inglês consome
. A disponibilidade total de linho é
. Assim, o consumo total não pode exceder a disponibilidade:
Explicação didática: multiplica-se o consumo por unidade pelo número de unidades, soma-se para os tipos e impõe-se que essa soma seja menor ou igual ao recurso disponível. Note que as unidades de comprimento foram mantidas consistentes.
Passo 5
Formular a restrição de disponibilidade de poliéster.
Cada terno italiano consome
de poliéster; cada terno inglês consome
. A disponibilidade total de poliéster é
. Assim:
Explicação didática: mesma lógica da restrição anterior, aplicada ao outro recurso.
Passo 6
Incluir a restrição mínima de produção do modelo italiano.
O enunciado exige que sejam produzidos pelo menos
ternos do modelo italiano. Isso vira uma restrição simples sobre
:
Explicação didática: restrições tipo “pelo menos” se traduzem com desigualdade maior ou igual; “no máximo” vira menor ou igual.
Passo 7
Impor as condições de não negatividade (e comentar sobre integridade).
Como
e
representam números de ternos, não podem ser negativas. Portanto:
Comentário sobre inteiros: em realidade prática,
e
deveriam ser inteiros (números naturais), porque não se produz fração de terno. Se o problema for tratado como Programação Linear contínua, mantemos
reais não negativos; se for necessário um modelo exato de produção, deve-se adicionar a condição inteira:
. Para formulação padrão de PL isolada, normalmente deixamos a restrição de integridade implícita ou anotamos como observação.
Passo 8
Apresentar o modelo de Programação Linear completo (compacto) e explicar rapidamente cada parte.
Modelo:
sujeito a
Explicação didática final: cada linha traduz uma condição do enunciado (custo total, limites de linho, limites de poliéster, mínimo de italianos e não negatividade). Para resolver e encontrar valores numéricos óptimos, pode-se usar métodos como o Simplex ou um solver (por exemplo, Excel Solver, Python/linprog, etc.). Se for preciso número inteiro de ternos, use um método de Programação Inteira (MILP).