Uma alfaiataria produz dois tipos de ternos masculinos com tecido externo de linho e forro de poliéster. O modelo com corte italiano consome cerca de 4 m de linho e 3,5 \mathrm{~m} de poliéster, já o modelo com corte inglês necessita de cerca de 4,8 \mathrm{~m} de linho e 4,3 \mathrm{~m} de poliéster. A disponibilidade mensal de linho é de 40 m , de poliéster é 35 m . O custo de produção de um terno com corte italiano é de \mathrm{R} \$\(135,00 e o custo de produção de um terno com corte inglês é de\)\mathrm{R} \$95,00. Elabore um modelo de Programação Linear para minimizar os custos de produção mensal, sabendo que, pelo menos, 4 ternos do modelo italiano devem ser produzidos.

Passo 1

O enunciado pede que se elabore um modelo de Programação Linear cuja finalidade é minimizar o custo de produção mensal, dado um conjunto de informações sobre consumo de tecido e disponibilidade. Vou listar claramente os dados fornecidos (peguei esses números do enunciado):
  • Dois tipos de ternos: corte italiano e corte inglês.
  • Consumo de linho:
    • Corte italiano: 4\\ \mathrm{m} de linho por terno.
    • Corte inglês: 4{,}8\\ \mathrm{m} de linho por terno.
  • Consumo de poliéster:
    • Corte italiano: 3{,}5\\ \mathrm{m} de poliéster por terno.
    • Corte inglês: 4{,}3\\ \mathrm{m} de poliéster por terno.
  • Disponibilidade mensal:
    • Linho: 40\\ \mathrm{m}.
    • Poliéster: 35\\ \mathrm{m}.
  • Custo de produção (por terno):
    • Corte italiano: R$ 135{,}00.
    • Corte inglês: R$ 95{,}00.
  • Restrição adicional: pelo menos 4 ternos do modelo italiano devem ser produzidos.
As perguntas implícitas do enunciado são:
  • Quais são as variáveis de decisão?
  • Qual a função objetivo (minimizar custo total)?
  • Quais são as restrições (recursos e produção mínima)?
  • Quais condições explícitas sobre sinais/inteiros?

Passo 2

Escolher e definir as variáveis de decisão — etapa fundamental para traduzir o enunciado em matemática. As variáveis devem representar exatamente aquilo que podemos controlar (quantos ternos produzir de cada tipo).
Definição das variáveis (unidades: número de ternos por mês):
  • Seja x_1 o número de ternos do modelo com corte italiano produzidos por mês.
  • Seja x_2 o número de ternos do modelo com corte inglês produzidos por mês.
Explicação didática: em Programação Linear, as variáveis de decisão representam quantidades que podemos escolher. Aqui queremos decidir quantos ternos de cada modelo produzir para minimizar custo, respeitando limites de tecido. Sempre indique a unidade (aqui: ternos/mês).

Passo 3

Montar a função objetivo — aqui queremos minimizar o custo de produção mensal total.
Cada terno italiano custa R$ 135{,}00 e cada terno inglês custa R$ 95{,}00. O custo total é a soma desses custos multiplicados pelas quantidades produzidas.
Escrevendo a função objetivo:
\text{minimizar}\quad Z = 135\,x_1 + 95\,x_2.
Explicação didática: a função objetivo é linear (uma soma de termos do tipo coeficiente \times variável). Minimizar significa escolher valores de x_1,x_2 que tornem Z o menor possível, sujeitando-se às restrições.

Passo 4

Formular a restrição de disponibilidade de linho.
Cada terno italiano consome 4\\ \mathrm{m} de linho; cada terno inglês consome 4{,}8\\ \mathrm{m}. A disponibilidade total de linho é 40\\ \mathrm{m}. Assim, o consumo total não pode exceder a disponibilidade:
4\,x_1 + 4{,}8\,x_2 \le 40.
Explicação didática: multiplica-se o consumo por unidade pelo número de unidades, soma-se para os tipos e impõe-se que essa soma seja menor ou igual ao recurso disponível. Note que as unidades de comprimento foram mantidas consistentes.

Passo 5

Formular a restrição de disponibilidade de poliéster.
Cada terno italiano consome 3{,}5\\ \mathrm{m} de poliéster; cada terno inglês consome 4{,}3\\ \mathrm{m}. A disponibilidade total de poliéster é 35\\ \mathrm{m}. Assim:
3{,}5\,x_1 + 4{,}3\,x_2 \le 35.
Explicação didática: mesma lógica da restrição anterior, aplicada ao outro recurso.

Passo 6

Incluir a restrição mínima de produção do modelo italiano.
O enunciado exige que sejam produzidos pelo menos 4 ternos do modelo italiano. Isso vira uma restrição simples sobre x_1:
x_1 \ge 4.
Explicação didática: restrições tipo “pelo menos” se traduzem com desigualdade maior ou igual; “no máximo” vira menor ou igual.

Passo 7

Impor as condições de não negatividade (e comentar sobre integridade).
Como x_1 e x_2 representam números de ternos, não podem ser negativas. Portanto:
x_1 \ge 0,\qquad x_2 \ge 0.
Comentário sobre inteiros: em realidade prática, x_1 e x_2 deveriam ser inteiros (números naturais), porque não se produz fração de terno. Se o problema for tratado como Programação Linear contínua, mantemos x_1,x_2 reais não negativos; se for necessário um modelo exato de produção, deve-se adicionar a condição inteira: x_1,x_2\in\mathbb{Z}_{\ge 0}. Para formulação padrão de PL isolada, normalmente deixamos a restrição de integridade implícita ou anotamos como observação.

Passo 8

Apresentar o modelo de Programação Linear completo (compacto) e explicar rapidamente cada parte.
Modelo:
\text{minimizar}\quad Z = 135\,x_1 + 95\,x_2
sujeito a
4\,x_1 + 4{,}8\,x_2 \le 40,
3{,}5\,x_1 + 4{,}3\,x_2 \le 35,
x_1 \ge 4,
x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0.
Explicação didática final: cada linha traduz uma condição do enunciado (custo total, limites de linho, limites de poliéster, mínimo de italianos e não negatividade). Para resolver e encontrar valores numéricos óptimos, pode-se usar métodos como o Simplex ou um solver (por exemplo, Excel Solver, Python/linprog, etc.). Se for preciso número inteiro de ternos, use um método de Programação Inteira (MILP).

Resposta

\text{minimizar}\quad Z = 135\,x_1 + 95\,x_2
\text{sujeito a}
4\,x_1 + 4{,}8\,x_2 \le 40,
3{,}5\,x_1 + 4{,}3\,x_2 \le 35,
x_1 \ge 4,
x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0.

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