Um empréstimo de R$ 21.000,00 deve ser pago em três parcelas mensais, com a primeira vencendo 30 dias após a liberação do principal. A taxa acordada para a operação foi de 10% a.m. Determine os juros bem como a amortização usando os sistemas FRANCÊS (SF), DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) e AMERICANO (SA), seguindo os esquemas abaixo:
SF
PERÍODO SAQUE SALDO INICIAL PAGAMENTO SALDO FINAL
Juros Amortização Total
0
1
2
3

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo retirado do enunciado):
  • Empréstimo (principal): P = 21.000,00 (R$).
  • Número de parcelas: n = 3 (mensais).
  • A primeira parcela vence 30 dias após a liberação (ou seja, pagamentos mensais).
  • Taxa de juros nominal por mês: i = 10\% = 0,10.
  • Pede-se determinar, para cada um dos sistemas (SF — sistema francês, SAC — sistema de amortização constante, SA — sistema americano), em cada período:
    • Juros do período;
    • Amortização do período;
    • Pagamento total (juros + amortização);
    • Saldo final.
  • A tabela pedida tem as colunas: PERÍODO, SAQUE, SALDO INICIAL, Juros, Amortização, Total (pagamento), SALDO FINAL.
  • Observação: o saque (liberação) é no tempo zero e o saldo inicial no período 1 é o capital emprestado.
A resolução começa a seguir, com explicação didática dos métodos e o passo a passo das contas.

Passo 2

Entendendo o que é pedido para o SF (sistema francês) — ideia e fórmula:
  • No SF as parcelas são constantes (mesmo valor em cada mês). Chamaremos essa parcela de R.
  • A parcela R é composta dos juros do período (calculados sobre o saldo inicial do período) mais a amortização (que resulta em redução do saldo).
  • A fórmula da prestação nivelada (anuidade) para um capital P, taxa i e n períodos é:
R = P\cdot\frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}.
Explicando cada variável:
  • P é o principal (a dívida inicial) — aqui P=21.000,00.
  • i é a taxa por período — aqui i=0,10.
  • n é o número de parcelas — aqui n=3.
  • R é o pagamento fixo por período (juros + amortização).
Vamos calcular R aplicando os números:
(1+i)^{n} = (1{,}1)^{3} = 1{,}331.
R = 21.000,00\cdot\frac{0{,}10\cdot 1{,}331}{1{,}331-1} = 21.000,00\cdot\frac{0{,}1331}{0{,}331}.
Calcule a fração:
\frac{0{,}1331}{0{,}331}=\frac{2.795.100}{331\cdot 1.000}=\frac{2.795.100}{331000}\approx0{,}41041057\ldots
Multiplicando por 21.000,00:
R=\frac{2.795.100}{331}\approx 8.444{,}41.
Portanto a parcela constante será R = 8.444{,}41 (arredondado para centavos).

Passo 3

Montagem do cronograma SF (cálculo de juros, amortização e saldos):
  • Regra por período:
    • Juros do período j_k = \text{Saldo inicial}_{k}\cdot i.
    • Amortização a_k = R - j_k.
    • Saldo final S_k = \text{Saldo inicial}_{k} - a_k.
  • Vamos fazer período a período com arredondamento para centavos em cada valor apresentado.
Período 0:
  • Saldo inicial: 21.000{,}00.
Período 1:
j_{1} = 21.000{,}00\cdot 0{,}10 = 2.100{,}00.
a_{1} = R - j_{1} = 8.444{,}41 - 2.100{,}00 = 6.344{,}41.
S_{1} = 21.000{,}00 - 6.344{,}41 = 14.655{,}59.
Período 2:
j_{2} = 14.655{,}59\cdot 0{,}10 = 1.465{,}56 \quad(\text{arred.})
a_{2} = 8.444{,}41 - 1.465{,}56 = 6.978{,}85.
S_{2} = 14.655{,}59 - 6.978{,}85 = 7.676{,}74.
Período 3:
j_{3} = 7.676{,}74\cdot 0{,}10 = 767{,}67 \quad(\text{arred.})
A amortização final é o saldo restante:
a_{3} = 7.676{,}74.
\text{Pagamento final }= j_{3}+a_{3}=767{,}67+7.676{,}74=8.444{,}41.
S_{3}=0{,}00.
Observação amigável: notou que a parcela ficou exatamente igual em todos os períodos ( 8.444{,}41) e o saldo final foi zerado — é assim que o SF funciona.

Passo 4

Entendendo o SAC (sistema de amortização constante) — ideia e fórmula:
  • No SAC a amortização é fixa em todos os períodos e igual a a = \dfrac{P}{n}.
  • O que muda ao longo do tempo é o juro, pois incide sobre saldos decrescentes; logo o pagamento total diminui com o tempo.
  • Variáveis:
    • P é o principal;
    • n número de parcelas;
    • a amortização constante: a = P/n;
    • Juros do período j_k = \text{Saldo inicial}_{k}\cdot i;
    • Pagamento R_k = j_k + a;
    • Saldo final S_k = \text{Saldo inicial}_{k} - a.
Calculando:
a = \frac{21.000{,}00}{3} = 7.000{,}00.
Período 0:
  • Saldo inicial: 21.000{,}00.
Período 1:
j_{1} = 21.000{,}00\cdot 0{,}10 = 2.100{,}00, \quad R_{1}=2.100{,}00+7.000{,}00=9.100{,}00, \quad S_{1}=21.000{,}00-7.000{,}00=14.000{,}00.
Período 2:
j_{2} = 14.000{,}00\cdot 0{,}10 = 1.400{,}00, \quad R_{2}=1.400{,}00+7.000{,}00=8.400{,}00, \quad S_{2}=14.000{,}00-7.000{,}00=7.000{,}00.
Período 3:
j_{3} = 7.000{,}00\cdot 0{,}10 =700{,}00, \quad R_{3}=700{,}00+7.000{,}00=7.700{,}00, \quad S_{3}=7.000{,}00-7.000{,}00=0{,}00.
Observação: pagamentos decrescentes 9.100{,}00,\;8.400{,}00,\;7.700{,}00.

Passo 5

Entendendo o SA (sistema americano) — ideia e fórmula:
  • No SA (ou sistema americano / “bullet”), normalmente paga-se apenas os juros em cada período intermediário e o principal é pago integralmente apenas na última prestação.
  • Assim:
    • Para k=1,2,\ldots,n-1: amortização a_k=0, juros j_k = P\cdot i, pagamento R_k = j_k, saldo inalterado.
    • No período n: amortização a_n = P, juros j_n = P\cdot i, pagamento R_n = j_n + a_n, saldo final 0.
Aplicando ao nosso caso ( P=21.000{,}00, i=0{,}10, n=3):
Período 0:
  • Saldo inicial: 21.000{,}00.
Períodos 1 e 2 (somente juros):
j_{1} = j_{2} = 21.000{,}00\cdot 0{,}10 = 2.100{,}00, \quad a_{1}=a_{2}=0{,}00, \quad R_{1}=R_{2}=2.100{,}00, \quad S_{1}=S_{2}=21.000{,}00.
Período 3 (vencimento final: juros + principal):
j_{3} = 21.000{,}00\cdot 0{,}10 = 2.100{,}00, \quad a_{3} = 21.000{,}00, \quad R_{3} = 2.100{,}00 + 21.000{,}00 = 23.100{,}00, \quad S_{3} = 0{,}00.

Passo 6

Resumo dos procedimentos (curta motivação para lembrar na prova):
  • SF: usa-se a fórmula da anuidade para achar a parcela constante R; depois calcula-se juros sobre saldo e amortização como R - \text{juros}.
  • SAC: amortização constante a=P/n; juros decrescentes; pagamentos R_k = j_k + a.
  • SA: paga-se juros periódicos e o principal só no final (parcelas intermediárias são só juros).

Resposta

SF:
Período 0 — Saldo inicial 21.000{,}00.
Período 1 — Juros 2.100{,}00; Amortização 6.344{,}41; Total 8.444{,}41; Saldo final 14.655{,}59.
Período 2 — Juros 1.465{,}56; Amortização 6.978{,}85; Total 8.444{,}41; Saldo final 7.676{,}74.
Período 3 — Juros 767{,}67; Amortização 7.676{,}74; Total 8.444{,}41; Saldo final 0{,}00.
SAC:
Período 0 — Saldo inicial 21.000{,}00.
Período 1 — Juros 2.100{,}00; Amortização 7.000{,}00; Total 9.100{,}00; Saldo final 14.000{,}00.
Período 2 — Juros 1.400{,}00; Amortização 7.000{,}00; Total 8.400{,}00; Saldo final 7.000{,}00.
Período 3 — Juros 700{,}00; Amortização 7.000{,}00; Total 7.700{,}00; Saldo final 0{,}00.
SA:
Período 0 — Saldo inicial 21.000{,}00.
Período 1 — Juros 2.100{,}00; Amortização 0{,}00; Total 2.100{,}00; Saldo final 21.000{,}00.
Período 2 — Juros 2.100{,}00; Amortização 0{,}00; Total 2.100{,}00; Saldo final 21.000{,}00.
Período 3 — Juros 2.100{,}00; Amortização 21.000{,}00; Total 23.100{,}00; Saldo final 0{,}00.

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