Duas promissórias, uma de \mathrm{R} \ 40.000,00 vencivel em 120 dias, e a outra de\mathrm{R} $90.000,00 , vencível em 180 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, dentro de 60 dias. Qual o valor desse resgate no regime de juro composto, à taxa deíãóà4 %$ ao mês? (Obs.: Desconto Racional)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Duas promissórias:
    • Promissória A: valor \mathrm{R}\$\,40.000,00, vencível em 120 dias.
    • Promissória B: valor \mathrm{R}\$\,90.000,00, vencível em 180 dias.
  • Será feito um único resgate (um só pagamento) em 60 dias.
  • Taxa de juros: 4\% ao mês (regime composto).
  • Observação do enunciado: desconto racional (ou seja, desconto “verdadeiro”, onde o valor presente é o valor futuro capitalizado descontado pela fórmula do juro composto).
O que se pede: encontrar o valor único a ser pago em 60 dias que corresponde ao valor presente, nessa data, das duas promissórias sob juro composto à taxa dada.

Passo 2

Converter os prazos em meses (porque a taxa está em juros ao mês). Adota-se a convenção usual de 30 dias por mês:
  • 120 dias = 4 meses.
  • 180 dias = 6 meses.
  • O pagamento será feito em 60 dias = 2 meses.
Agora, a partir do instante do pagamento (em 2 meses), faltam até cada vencimento:
  • Para a promissória A: 4-2=2 meses até o vencimento.
  • Para a promissória B: 6-2=4 meses até o vencimento.

Passo 3

Explicar a ideia do desconto racional em regime composto (a “aula” rápida e calma).
  • Em juro composto, um capital PV aplicado à taxa mensal i por n meses cresce para um montante FV dado por
FV = PV\,(1+i)^{n}.
  • Inversamente, o valor presente (ou seja, o valor que, aplicado à taxa i por n meses, resulta em FV) é
PV = \frac{FV}{(1+i)^{n}}.
  • O desconto racional composto é exatamente usar essa fórmula para “trazer” o valor futuro FV para um instante anterior; ou seja, o PV é o valor a pagar naquele instante para quitar a dívida futura.
  • Aqui cada promissória tem um FV (seu valor nominal) e um número n de meses até o vencimento contado a partir da data do resgate (em 2 meses). Então calculamos o PV de cada promissória e somamos: o resgate único deve ser a soma dos valores presentes na data do pagamento.

Passo 4

Montar as expressões matemáticas específicas do problema.
  • Taxa mensal: i=4\%=0,04.
  • Para a promissória A ( FV_1=\mathrm{R}\$\,40.000,00, n_1=2 meses):
PV_1=\frac{40\,000}{(1+0,04)^{2}}.
  • Para a promissória B ( FV_2=\mathrm{R}\$\,90.000,00, n_2=4 meses):
PV_2=\frac{90\,000}{(1+0,04)^{4}}.
  • O resgate único R a pagar em 60 dias é
R = PV_1 + PV_2 = \frac{40\,000}{(1+0,04)^{2}} + \frac{90\,000}{(1+0,04)^{4}}.

Passo 5

Calcular as potências e os valores numéricos passo a passo (sem pular etapas).
  • Calcular (1+0,04)^{2}:
(1{+}0,04)^{2} = 1{,}04^{2} = 1{,}0816.
  • Calcular (1+0,04)^{4} (podemos elevar ao quadrado novamente):
1{,}04^{4} = (1{,}04^{2})^{2} = 1{,}0816^{2} = 1{,}16985856.
  • Agora calcular PV_1:
PV_1 = \frac{40\,000}{1{,}0816} \approx 36\,982{,}2484\quad(\text{em reais}).
(ou seja, aproximadamente \mathrm{R}\$\,36.982,25 ao arredondar para centavos).
  • Calcular PV_2:
PV_2 = \frac{90\,000}{1{,}16985856} \approx 76\,932{,}0360\quad(\text{em reais}).
(aproximadamente \mathrm{R}\$\,76.932,04 ao arredondar para centavos).
  • Somar para obter o resgate:
R = PV_1 + PV_2 \approx 36\,982{,}2484 + 76\,932{,}0360 = 113\,914{,}2844.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), o valor do resgate é \mathrm{R}\$\,113.914,28.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para a prova (resumindo como aplicar rapidamente):
  • Regra prática: para juntar várias dívidas com vencimentos diferentes numa única quitação antecipada em uma data intermediária, compute para cada dívida o valor presente na data de quitação usando \displaystyle PV=\dfrac{FV}{(1+i)^{n}} onde n é o número de períodos entre a quitação e o vencimento; some os PVs.
  • Cuidado com unidades de tempo: a taxa e os períodos devem estar na mesma unidade (aqui meses).
  • No caderno da prova, escreva claramente os n para cada título (aqui 2 e 4 meses) e aplique a fórmula; os cálculos de potências e divisões podem ser feitos com calculadora, mas mostre os passos.

Resposta

\mathrm{R}\$\,113.914,28

Exercícios relacionados