(ENADE 2008)Considere o sistema de equações a seguir.
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\\ 2 x+2 y+2 z=4 \\\\ 3 x+3 y+4 z=5\end{array}\right.
Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações lineares. O sistema não tem solução
porque
o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
A) As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
E) Ambas as asserções são proposições falsas.
OBS.: Justifique detalhadamente sua resposta!

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\\ 2x + 2y + 2z = 4,\\\\ 3x + 3y + 4z = 5, \end{cases}
e apresenta as duas asserções:
  1. “O sistema não tem solução.”
  2. “Porque o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.”
    O conteúdo envolvido é consistência de sistemas lineares e determinantes; vamos verificar a existência de solução e calcular o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Para ver se o sistema é consistente, compare a primeira e a segunda equação. A segunda pode ser escrita como
2x + 2y + 2z = 4 \quad\Longrightarrow\quad x + y + z = 2.
Mas a primeira diz x + y + z = 1. Há contradição entre 1 e 2, logo o sistema é incompatível e não tem solução. Assim, a primeira asserção é verdadeira.

Passo 3

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 2 & 2\\\\ 3 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
Calculando o determinante, temos
\det A = 1\cdot(2\cdot4 - 2\cdot3) -1\cdot(2\cdot4 - 2\cdot3) +1\cdot(2\cdot3 - 2\cdot3) = 1\cdot2 - 1\cdot2 + 1\cdot0 = 0.
Portanto, a segunda asserção (“o determinante é zero”) também é verdadeira.

Passo 4

Contudo, \det A = 0 apenas indica que o sistema não tem solução única (pode ser sem solução ou ter infinitas soluções), mas não garante necessariamente que seja incompatível. Ou seja, “determinante zero” é condição necessária e suficiente para ausência de solução única, mas não é motivo direto de incompatibilidade. Logo, embora a segunda asserção seja verdadeira, ela não justifica corretamente a primeira.

Resposta

B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

Exercícios relacionados