Prove que o sistema \left\{\begin{array}{ll}x+2 y+3 z-3 w & =a \\\\ 2 x-5 y-3 z+12 w & =b \\\\ 7 x+y+8 z+5 w & =c\end{array}\right., admite solução se, e somente se, 37a+ 13 b=9 c. Ache a solução geral do sistema quando a=2 e b=4.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear com incógnitas x,y,z,w:
\begin{cases} x + 2y + 3z - 3w = a,\\\\ 2x - 5y - 3z +12w = b,\\\\ 7x + y + 8z + 5w = c. \end{cases}
O conteúdo é teoria de sistemas lineares: condição de compatibilidade (teorema de Rouché‐Frobenius) e obtenção da solução geral por eliminação de Gauss.
Passo 2
Para achar a condição de existência buscamos escalares \alpha,\beta,\gamma\) tais que
\[\alpha\,(x+2y+3z-3w) +\beta\,(2x-5y-3z+12w) +\gamma\,(7x+y+8z+5w)\equiv0
identicamente em x,y,z,w. Isso gera o sistema em \alpha,\beta,\gamma:
sendo a terceira equação combinação linear das duas primeiras.
Passo 4
Para resolver, tomamos variáveis livres z=t\) e \(w=s\). Das duas primeiras equações:
\[\begin{cases} x+2y = 2 -3t +3s,\\\\ 2x-5y = 4 +3t -12s. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo a segunda: