Prove que o sistema \left\{\begin{array}{ll}x+2 y+3 z-3 w & =a \\\\ 2 x-5 y-3 z+12 w & =b \\\\ 7 x+y+8 z+5 w & =c\end{array}\right., admite solução se, e somente se, 37a+ 13 b=9 c. Ache a solução geral do sistema quando a=2 e b=4.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear com incógnitas x,y,z,w:
\begin{cases} x + 2y + 3z - 3w = a,\\\\ 2x - 5y - 3z +12w = b,\\\\ 7x + y + 8z + 5w = c. \end{cases}
O conteúdo é teoria de sistemas lineares: condição de compatibilidade (teorema de Rouché‐Frobenius) e obtenção da solução geral por eliminação de Gauss.

Passo 2

Para achar a condição de existência buscamos escalares \alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\alpha\,(x+2y+3z-3w) +\beta\,(2x-5y-3z+12w) +\gamma\,(7x+y+8z+5w)\equiv0
identicamente em x,y,z,w. Isso gera o sistema em \alpha,\beta,\gamma:
\begin{cases} \alpha +2\beta +7\gamma =0,\\\\ 2\alpha -5\beta +\gamma =0,\\\\ 3\alpha -3\beta +8\gamma =0,\\\\ -3\alpha+12\beta+5\gamma =0. \end{cases}
Dessa forma obtém-se \beta=-\tfrac{13}{9}\gamma\], \(\alpha=-\tfrac{37}{9}\gamma.
Escolhendo \gamma=9 temos \alpha=-37, \beta=-13, \gamma=9 e então
-37\,(\,\text{eq1}\,)-13\,(\,\text{eq2}\,)+9\,(\,\text{eq3}\,)\equiv0 \quad\Longrightarrow\quad -37a-13b+9c=0,
isto é,
37a+13b=9c.

Passo 3

No caso particular a=2, b=4 a condição impõe
37\cdot2 +13\cdot4 =9c \quad\Longrightarrow\quad 74+52=9c \quad\Longrightarrow\quad c=14.
O sistema fica
\begin{cases} x+2y+3z-3w=2,\\\\ 2x-5y-3z+12w=4,\\\\ 7x+y+8z+5w=14, \end{cases}
sendo a terceira equação combinação linear das duas primeiras.

Passo 4

Para resolver, tomamos variáveis livres z=t\) e \(w=s\). Das duas primeiras equações: \[\begin{cases} x+2y = 2 -3t +3s,\\\\ 2x-5y = 4 +3t -12s. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo a segunda:
9y = (4-6t+6s)-(4+3t-12s)=-9t+18s \quad\Longrightarrow\quad y=-t+2s.
Então
x = 2-3t+3s -2y = 2-3t+3s -2(-t+2s) = 2 -t -s.
Logo a solução geral é
x = 2 - t - s,\quad y = -\,t + 2s,\quad z = t,\quad w = s,
com (t,s\in\mathbb{R}].

Resposta

A condição de existência é
37a + 13b = 9c.
Para a=2, b=4 segue c=14 e a solução geral é
(x,y,z,w) = \bigl(2 - t - s,\,-t + 2s,\,t,\,s\bigr), \quad t,s\in\mathbb{R}.

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