Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
Passo 1
O enunciado dado é a equação
O que o enunciado pede é: encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável.
Informações relevantes que o enunciado me deu:
- A única equação fornecida é
. - Há uma variável
aparecendo na equação, portanto o sistema parece ser de dimensão 2 (variáveis e ), mas a equação para NÃO foi fornecida.
Observação importante (sem resolver ainda): com apenas
não há informação suficiente para calcular valores numéricos dos autovalores/autovetores do sistema completo porque falta a segunda equação (a expressão de
). Ainda assim, posso:
- resolver o problema de forma simbólica para um sistema linear 2×2 cuja primeira linha da matriz é
(isto é, supondo que a matriz do sistema seja com desconhecidos), e - explicar passo a passo como encontrar autovalores, autovetores e decidir estabilidade a partir desses símbolos.
Vou seguir esse caminho didático: mostrar o procedimento geral e o resultado simbólico em termos dee .
Passo 2
Modelagem do sistema linear 2×2 e definição de autovalores/autovetores.
Considere o sistema linear de duas equações em forma matricial
onde eu peguei da equação fornecida a primeira linha da matriz como
e deixei a segunda linha genérica
porque
não foi dada.
Definições (explicadas devagar):
- Um autovalor
de é um número complexo tal que existe um vetor não-nulo satisfazendo . - O autovetor correspondente a
é qualquer vetor não-nulo que satisfaça essa igualdade. - Para encontrar
resolvemos a equação característica . - Para cada
encontrado, resolvemos para achar os autovetores . - Sobre estabilidade (intuição): para um sistema linear homogêneo
em , a estabilidade assintótica (soluções tendem a quando ) depende dos autovalores: é necessária e suficiente que as partes reais dos dois autovalores sejam negativas. Em 2×2 isso pode ser verificado através do traço e determinante da matriz (vou detalhar mais adiante).]
Passo 3
Cálculo da equação característica (passo a passo).
Escrevemos
O determinante é
Vou expandir cuidadosamente:
então, somando
,
A equação característica é, portanto,
Observações sobre os coeficientes:
- O coeficiente de
(com sinal negativo) é o traço da matriz: . - O termo constante é o determinante da matriz:
. - Para matrizes 2×2 vale sempre que a soma dos autovalores é
e o produto é .]
Passo 4
Fórmula dos autovalores (resolvendo a quadrática) e interpretação.
Usando a fórmula quadrática:
Defina o discriminante
Tipos de autovalores conforme o discriminante:
- Se
: dois autovalores reais e distintos. - Se
: autovalor real duplo (possível degenerescência). - Se
: autovalores complexos conjugados; as partes reais são .
Ligação com estabilidade (regra prática para 2×2):
- A condição necessária e suficiente para estabilidade assintótica (ambos autovalores com parte real negativa) é:
isto é,
Explicação curta do porquê: para 2×2, autovalores
satisfazem
e
. Se a soma é negativa e o produto é positivo, então as partes reais não podem ser simultaneamente positivas, e de fato ambos têm parte real negativa (casos com complexos conjugados também seguem essa verificação porque a parte real é metade do traço).
Se
então os autovalores têm sinais opostos e o sistema é instável (sela). Se
mas
então ambos têm parte real positiva (instável). Se
e
podem ser autovalores puramente imaginários (centro) ou caso limite — marginalmente estável, não assintoticamente estável.
Passo 5
Cálculo dos autovetores (procedimento e casos especiais).
Para um autovalor
qualquer, resolvemos
A primeira linha dá a equação
Assim, um autovetor associado a
pode ser escolhido como
desde que esse vetor não seja nulo (isto é, não ocorrendo o caso especial abaixo) e desde que a segunda linha seja compatível (ela será, porque as duas linhas são proporcionalmente dependentes quando
realmente é autovalor).
Caso especial: se
então a primeira equação vira
ou
. Para
ser autovalor também é necessário que a segunda linha permita um vetor não-nulo: a segunda equação seria
. Colocando
exige
, logo precisa-se de
para que exista autovetor com
. Em suma:
é autovalor se e somente se
, e então um autovetor é
.
Resumo prático para obter autovetores:
- Para cada
calculado pela fórmula, tomar e dá um autovetor (ou outro múltiplo escalar). - Se isso produzir o vetor nulo (caso raro) ou houver inconsistência, resolver o sistema linear
explicitamente para encontrar uma solução não-nula.]
Passo 6
Recapitulando em linguagem de prova (o que usar na prova, passo a passo rápido que dá para escrever na hora):
- Escreva a matriz assumida pela primeira equação:
. - Calcule
e obtenha a equação característica
- Aplique a fórmula quadrática para obter
- Para cada
, resolva . Um autovetor prático é (salvo caso especial). - Use
e para decidir estabilidade: - Assintoticamente estável se
e . - Instável (sela) se
. - Caso limite/marginal quando
e (ou autovalores com parte real zero).
- Assintoticamente estável se
Se quiser um exemplo numérico concreto agora (para treinar), diga mentalmente um par
— por exemplo
— e substitua nas fórmulas acima para achar números. Mas não vou inventar valores sem você pedir; preferi deixar tudo em forma simbólica porque a segunda equação não foi fornecida.]
Resposta
Não é possível determinar autovalores/autovetores numéricos porque falta a equação para
(ou equivalentemente os valores de
e
na segunda linha da matriz).
Autovalores (forma geral para
):
Autovetores (para cada
obtido):
Condição de estabilidade assintótica: