Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável \boldsymbol{X}^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}10 & -5 \\\\ 8 & -12\end{array}\right] \boldsymbol{X}
e pede três coisas: encontrar os autovalores (eigenvalues), encontrar os autovetores (eigenvectors) correspondentes e decidir se o sistema é estável.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz A é 2\times2 e tem entradas 10, -5, 8, -12.
Pergunta-se explicitamente por autovalores, autovetores e estabilidade do sistema linear.]
Passo 2
O que é autovalor e autovetor (explicação didática):
Um autovalor \lambda e um autovetor \boldsymbol{v}\neq\boldsymbol{0} satisfazem
A\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v}.
Para encontrar \lambda resolvemos a condição que torna a matriz A-\lambda I singular, isto é,
\det(A-\lambda I)=0.
Isso gera o polinômio característico cuja raiz é o autovalor.
Passo 3
Montar o polinômio característico e calcular o determinante:
A-\lambda I = \begin{pmatrix}10-\lambda & -5 \\[4pt] 8 & -12-\lambda\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo deste vetor também é autovetor associado a \lambda_2.]
Passo 8
Escrever a solução geral e interpretar a estabilidade (explicação didática):
Para uma matriz diagonalizável em \mathbb{R}^2 (aqui temos autovetores linearmente independentes), a solução geral do sistema é combinação linear dos modos exponenciais:
com constantes C_1,C_2 determinadas pelas condições iniciais. Intuição:
O termo com e^{8t} cresce exponencialmente porque \lambda_1=8>0.
O termo com e^{-10t} decai exponencialmente porque \lambda_2=-10<0.
Como existe um modo que cresce (e^{8t}), pequenas perturbações na direção do autovetor \boldsymbol{v}_1 crescem com o tempo: o equilíbrio na origem é instável. Em termos qualitativos, a origem é um ponto-sela (saddle point): algumas trajetórias vão para a origem (pela direção estável), outras afastam-se exponencialmente (pela direção instável).
Critério geral usado (resumo):
Se todos os autovalores têm parte real negativa, o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável.
Se algum autovalor tem parte real positiva, o sistema é instável.
Se autovalores têm sinais diferentes (um positivo, um negativo), é um ponto-sela (instável).]