Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
\boldsymbol{X}^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}10 & -5 \\\\ 8 & -12\end{array}\right] \boldsymbol{X}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo
\boldsymbol{X}' = A\boldsymbol{X}, \qquad A = \begin{pmatrix}10 & -5 \\[4pt] 8 & -12\end{pmatrix},
e pede três coisas: encontrar os autovalores (eigenvalues), encontrar os autovetores (eigenvectors) correspondentes e decidir se o sistema é estável.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A é 2\times2 e tem entradas 10, -5, 8, -12.
  • Pergunta-se explicitamente por autovalores, autovetores e estabilidade do sistema linear.]

Passo 2

O que é autovalor e autovetor (explicação didática):
  • Um autovalor \lambda e um autovetor \boldsymbol{v}\neq\boldsymbol{0} satisfazem
A\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v}.
  • Para encontrar \lambda resolvemos a condição que torna a matriz A-\lambda I singular, isto é,
\det(A-\lambda I)=0.
Isso gera o polinômio característico cuja raiz é o autovalor.

Passo 3

Montar o polinômio característico e calcular o determinante:
A-\lambda I = \begin{pmatrix}10-\lambda & -5 \\[4pt] 8 & -12-\lambda\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I) = (10-\lambda)(-12-\lambda) - (-5)\cdot 8.
Vamos expandir cuidadosamente essa expressão.]

Passo 4

Expandir e simplificar o polinômio:
Primeiro calcule o produto (10-\lambda)(-12-\lambda):
(10-\lambda)(-12-\lambda) = 10(-12-\lambda) -\lambda(-12-\lambda) = -120 -10\lambda +12\lambda +\lambda^2 = \lambda^2 +2\lambda -120.
Agora some o termo -(-5)\cdot 8 = +40:
\det(A-\lambda I)=\lambda^2 +2\lambda -120 +40 = \lambda^2 +2\lambda -80.
Portanto o polinômio característico é
\lambda^2 +2\lambda -80 = 0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Usamos fórmula quadrática ou fatoração. Calcule o discriminante:
\Delta = 2^2 - 4\cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 = 18^2.
As raízes são
\lambda = \frac{-2 \pm 18}{2}.
Logo
\lambda_1 = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8, \qquad \lambda_2 = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10.
Interpretação rápida: há um autovalor positivo \lambda_1=8 e um autovalor negativo \lambda_2=-10.

Passo 6

Encontrar o autovetor associado a \lambda_1=8\): Resolvemos \((A-8I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}\). A matriz \(A-8I\) é \[A-8I = \begin{pmatrix}10-8 & -5 \\[4pt] 8 & -12-8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] 8 & -20\end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema linear para \boldsymbol{v}=(x,y)^T:
\begin{cases} 2x - 5y = 0,\\[4pt] 8x -20y = 0. \end{cases}
As duas equações são dependentes (a segunda é 4 vezes a primeira). Da primeira vem
2x = 5y \quad\Rightarrow\quad x = \frac{5}{2}y.
Escolhemos um y\] conveniente para evitar frações; por exemplo \(y=2 x=5. Assim um autovetor associado é
\boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix}5 \\[4pt] 2\end{pmatrix}.
Observação: qualquer múltiplo escalar de \boldsymbol{v}_1 também é autovetor correspondente a \lambda_1.]

Passo 7

Encontrar o autovetor associado a \lambda_2=-10\): Resolvemos \((A+10I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}\). A matriz \(A+10I\) é \[A+10I = \begin{pmatrix}10+10 & -5 \\[4pt] 8 & -12+10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20 & -5 \\[4pt] 8 & -2\end{pmatrix}.
Sistema para \boldsymbol{v}=(x,y)^T:
\begin{cases} 20x - 5y = 0,\\[4pt] 8x - 2y = 0. \end{cases}
Novamente as equações são múltiplas. Da primeira:
20x = 5y \quad\Rightarrow\quad y = 4x.
Escolhendo x=1\] obtemos \(y=4. Um autovetor associado é
\boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix}1 \\[4pt] 4\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo deste vetor também é autovetor associado a \lambda_2.]

Passo 8

Escrever a solução geral e interpretar a estabilidade (explicação didática):
Para uma matriz diagonalizável em \mathbb{R}^2 (aqui temos autovetores linearmente independentes), a solução geral do sistema é combinação linear dos modos exponenciais:
\boldsymbol{X}(t) = C_1 e^{\lambda_1 t}\boldsymbol{v}_1 + C_2 e^{\lambda_2 t}\boldsymbol{v}_2,
ou seja
\boldsymbol{X}(t) = C_1 e^{8t}\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix} + C_2 e^{-10t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix},
com constantes C_1,C_2 determinadas pelas condições iniciais. Intuição:
  • O termo com e^{8t} cresce exponencialmente porque \lambda_1=8>0.
  • O termo com e^{-10t} decai exponencialmente porque \lambda_2=-10<0.
    Como existe um modo que cresce ( e^{8t}), pequenas perturbações na direção do autovetor \boldsymbol{v}_1 crescem com o tempo: o equilíbrio na origem é instável. Em termos qualitativos, a origem é um ponto-sela (saddle point): algumas trajetórias vão para a origem (pela direção estável), outras afastam-se exponencialmente (pela direção instável).
Critério geral usado (resumo):
  • Se todos os autovalores têm parte real negativa, o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável.
  • Se algum autovalor tem parte real positiva, o sistema é instável.
  • Se autovalores têm sinais diferentes (um positivo, um negativo), é um ponto-sela (instável).]

Resposta

\lambda_1 = 8,\quad\boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix}
\lambda_2 = -10,\quad\boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix}
O sistema é instável (origem é ponto-sela).]

Exercícios relacionados