Encontrar uma base e a dimensão do espaço-solução dos sistemas:
\left\{\begin{array}{c}2 x+y+z=0 \\\ x+y+z=0 \\\\ 3 x+3 y+2 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma base e a dimensão do espaço-solução do sistema homogêneo
\begin{cases} 2x+y+z=0,\\[4pt] x+y+z=0,\\[4pt] 3x+3y+2z=0.
Informações que temos (as equações dadas): os coeficientes das variáveis x,y,z nas três equações estão explícitos acima e o termo independente em cada equação é 0 (sistema homogêneo). O que se quer é:
  • uma base do espaço das soluções (ou seja, um conjunto de vetores que gera todas as soluções e é linearmente independente);
  • a dimensão desse espaço de soluções (número de vetores na base).]

Passo 2

Estratégia de cálculo (sem resolver ainda): para encontrar o espaço das soluções de um sistema linear homogêneo é prático montar a matriz dos coeficientes e aplicar eliminação de Gauss (redução por linhas) para descobrir quantas variáveis livres existem e/ou resolver explicitamente as variáveis. Vou montar a matriz aumentada (com a coluna de zeros, mas como é homogêneo a coluna de zeros permanece e podemos trabalhar só com a matriz de coeficientes):
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Primeira operação elementar: troco a primeira linha com a segunda para ter um 1 na posição (1,1) e facilitar eliminações:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Agora vou zerar as entradas abaixo do pivô (posição (1,1)) usando combinações lineares:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculemos:
R_2 - 2R_1 = (2,1,1)-2(1,1,1)=(0,-1,-1),
R_3 - 3R_1 = (3,3,2)-3(1,1,1)=(0,0,-1).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora vejo pivôs nas posições (1,1), (2,2) e (3,3) (todos são não nulos: 1,\,-1,\,-1). Posso simplificar os sinais multiplicando as linhas 2 e 3 por -1:
R_2 \leftarrow -R_2,\qquad R_3 \leftarrow -R_3,
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Com essa forma triangular superior é fácil eliminar acima dos pivôs para chegar à forma reduzida em escada (forma de linha escalonada reduzida). Uso:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_3 para zerar a entrada (2,3),
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_3 para zerar a entrada (1,3),
  • depois R_1 \leftarrow R_1 - R_2 para zerar a entrada (1,2).
Fazendo passo a passo:
R_2 - R_3 = (0,1,1)-(0,0,1)=(0,1,0),
R_1 - R_3 = (1,1,1)-(0,0,1)=(1,1,0),
R_1 - R_2 = (1,1,0)-(0,1,0)=(1,0,0).
A matriz final é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
que é a matriz identidade 3\times3.]

Passo 6

Interpretação dos resultados: a forma reduzida indica que os pivôs ocupam as três colunas correspondentes a x,y,z. Em termos das equações, isso significa que as igualdades reduzidas são
x=0,\qquad y=0,\qquad z=0.
Ou seja, a única solução do sistema homogêneo é o vetor nulo (0,0,0).

Passo 7

Conclusão sobre espaço-nulo, base e dimensão: o espaço-solução (o núcleo da transformação linear dada por A) contém apenas o vetor nulo. Esse subespaço trivial tem dimensão 0. Por definição, não existe um vetor não-nulo que gere o espaço; a base do espaço trivial é o conjunto vazio. Em termos práticos:
  • espaço-solução = \{(0,0,0)\};
  • uma base pode ser indicada por \varnothing (conjunto vazio);
  • dimensão = 0.

Resposta

Base do espaço-solução: \varnothing
Dimensão: 0

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