Informações que temos (as equações dadas): os coeficientes das variáveis x,y,z nas três equações estão explícitos acima e o termo independente em cada equação é 0 (sistema homogêneo). O que se quer é:
uma base do espaço das soluções (ou seja, um conjunto de vetores que gera todas as soluções e é linearmente independente);
a dimensão desse espaço de soluções (número de vetores na base).]
Passo 2
Estratégia de cálculo (sem resolver ainda): para encontrar o espaço das soluções de um sistema linear homogêneo é prático montar a matriz dos coeficientes e aplicar eliminação de Gauss (redução por linhas) para descobrir quantas variáveis livres existem e/ou resolver explicitamente as variáveis. Vou montar a matriz aumentada (com a coluna de zeros, mas como é homogêneo a coluna de zeros permanece e podemos trabalhar só com a matriz de coeficientes):
Agora vejo pivôs nas posições (1,1), (2,2) e (3,3) (todos são não nulos: 1,\,-1,\,-1). Posso simplificar os sinais multiplicando as linhas 2 e 3 por -1:
Interpretação dos resultados: a forma reduzida indica que os pivôs ocupam as três colunas correspondentes a x,y,z. Em termos das equações, isso significa que as igualdades reduzidas são
x=0,\qquad y=0,\qquad z=0.
Ou seja, a única solução do sistema homogêneo é o vetor nulo (0,0,0).
Passo 7
Conclusão sobre espaço-nulo, base e dimensão: o espaço-solução (o núcleo da transformação linear dada por A) contém apenas o vetor nulo. Esse subespaço trivial tem dimensão 0. Por definição, não existe um vetor não-nulo que gere o espaço; a base do espaço trivial é o conjunto vazio. Em termos práticos:
espaço-solução = \{(0,0,0)\};
uma base pode ser indicada por \varnothing (conjunto vazio);