1. Para os subespaços U e V de R^{3} nos itens abaixo, determine U \cap V e U+V. Indique qual é soma direta.
    a. \quad U=[(1,0,1),(0,1,1) e V=[(1,1,1)].
    b. U=[(1,0,1),(0,1,1) e V=[(1,2,3)].
    c. U=\left\{(x, y, z) \in \mathrm{R}^{3} \mid z=0\right\} e V=[(0,0,1)].
    d. \quad U=\left\{(x, y, z) \in \mathrm{R}^{3} \mid x+y=0\right\} e V=[(2,-2,1)].

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas em cada item (vou pegar os vetores exatamente como escritos no enunciado).
  • O que é pedido para cada item: determinar U\cap V e U+V, e dizer se a soma é direta.
  • Item (a):
    • U=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.
    • V=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
  • Item (b):
    • U=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.
    • V=\operatorname{span}\{(1,2,3)\}.
  • Item (c):
    • U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=0\}.
    • V=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.
  • Item (d):
    • U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y=0\}.
    • V=\operatorname{span}\{(2,-2,1)\}.
Observação sobre notação que vou usar: \operatorname{span}\{v_1,\dots\} é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores; uma soma direta U\oplus V ocorre exatamente quando U\cap V=\{(0,0,0)\}.

Passo 2

Método geral (explicando passo a passo, bem didático). Para encontrar U\cap V quando U e V são gerados por vetores:
  • Escrevo um vetor genérico de U como combinação linear dos geradores de U.
  • Escrevo um vetor genérico de V como combinação linear dos geradores de V.
  • Igualo as duas expressões componente a componente e resolvo para as incógnitas. As soluções me dão os vetores em comum.
    Para U+V: é simplesmente \operatorname{span} de todos os vetores geradores (a união das bases geradoras). Posso simplificar escrevendo U+V=\operatorname{span}\{\text{vetores de }U\cup\text{vetores de }V\} e, se necessário, determinar a dimensão eliminando dependências lineares. A soma é direta se e somente se U\cap V=\{(0,0,0)\}.

Passo 3

Resolução do item (a): [U=\operatorname{span}{u_1,u_2}) com u_1=(1,0,1), u_2=(0,1,1); V=\operatorname{span}\{v\} com v=(1,1,1).
  1. Encontrar U\cap V. Escrevo um vetor genérico de U e um de V e igualo:
\alpha u_1+\beta u_2 = t v,
ou seja
\alpha(1,0,1)+\beta(0,1,1) = t(1,1,1).
Igualando componente a componente:
\begin{cases} \alpha = t,\\[4pt] \beta = t,\\[4pt] \alpha+\beta = t. \end{cases}
Das duas primeiras equações \alpha=t\] e \(\beta=t. Substituindo na terceira:
\alpha+\beta = t \Longrightarrow t+t = t \Longrightarrow 2t = t \Longrightarrow t=0.
Logo \alpha=\beta=0. Portanto o único vetor comum é o vetor nulo. Conclusão:
U\cap V=\{(0,0,0)\}.
  1. Determinar U+V. Os geradores juntos são u_1,u_2,v. Notamos que \dim U=2 (porque u_1 e u_2 são linearmente independentes) e que v\notin U (pois se v\in U teríamos interseção não trivial, contradizendo o item anterior). Assim a adição de v aumenta a dimensão para 3. Portanto
U+V=\mathbb{R}^3.
  1. Soma direta? Sim, porque U\cap V=\{0\}. Então U\oplus V=\mathbb{R}^3.]

Passo 4

Resolução do item (b): mesmos [u_1=(1,0,1)), u_2=(0,1,1) e agora v=(1,2,3).
  1. Encontrar U\cap V. Igualo combinações:
\alpha u_1+\beta u_2 = t v,
ou seja
\alpha(1,0,1)+\beta(0,1,1) = t(1,2,3).
Componentes:
\begin{cases} \alpha = t,\\[4pt] \beta = 2t,\\[4pt] \alpha+\beta = 3t. \end{cases}
Das duas primeiras \alpha=t\], \(\beta=2t. Verifico a terceira: \alpha+\beta = t+2t = 3t, que coincide com a terceira equação para todo t. Isso significa que para qualquer t escolhemos \alpha=t,\beta=2t e obtemos um vetor comum. Em particular, para t=1 obtemos
v = u_1 + 2u_2,
portanto v\in U. Assim V\subseteq U e
U\cap V = V = \operatorname{span}\{(1,2,3)\}.
  1. Determinar U+V. Como V\subseteq U, a soma não agrega nada novo:
U+V = U.
  1. Soma direta? Não, porque U\cap V = V que é maior que \{0\}. Então não é direto.]

Passo 5

Resolução do item (c): U=\{(x,y,z)\mid z=0\} (o plano xy) e V=\operatorname{span}\{w\} com w=(0,0,1).
  1. Interseção U\cap V: um vetor em V tem forma t(0,0,1)=(0,0,t). Para estar em U precisamos de z=0, logo t=0. Assim só o vetor nulo está em comum:
U\cap V=\{(0,0,0)\}.
  1. Soma U+V: o plano z=0 mais o eixo z gera todo o espaço \mathbb{R}^3; formalmente,
U+V=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}=\mathbb{R}^3.
  1. Soma direta? Sim, porque a interseção é \{0\}. Logo U\oplus V=\mathbb{R}^3.

Passo 6

Resolução do item (d): U=\{(x,y,z)\mid x+y=0\} e V=\operatorname{span}\{v\} com v=(2,-2,1).
  1. Primeiro expresso U como span de vetores fáceis. Se x+y=0 então y=-x, um vetor de U tem forma (x,-x,z)=x(1,-1,0)+z(0,0,1). Logo
U=\operatorname{span}\{u_1,u_2\}\quad\text{com}\quad u_1=(1,-1,0),\\ u_2=(0,0,1).
  1. Verifico se v pertence a U. Tento escrever v como combinação de u_1 e u_2:
a u_1 + b u_2 = (2,-2,1).
Isso dá
a(1,-1,0)+b(0,0,1) = (a,-a,b) = (2,-2,1).
Comparando componentes: a=2, -a=-2 (coincide), b=1. Portanto v=2u_1+1u_2. Assim v\in U, o que implica V\subseteq U.
  1. Consequências:
  • U\cap V = V (pois todo vetor de V está em U).
  • U+V = U (somar um subespaço contido não amplia).
  • Soma direta? Não, pois a interseção não é apenas \{0\}.

Resposta

a. U\cap V=\{(0,0,0)\}, \;U+V=\mathbb{R}^3. Soma direta: sim.
b. U\cap V=\operatorname{span}\{(1,2,3)\}=V, \;U+V=U. Soma direta: não.
c. U\cap V=\{(0,0,0)\}, \;U+V=\mathbb{R}^3. Soma direta: sim.
d. U\cap V=\operatorname{span}\{(2,-2,1)\}=V, \;U+V=U. Soma direta: não.

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