Encontrar o comprimento de arco da curva dada.
y=\sqrt{x^{3}}\\, de \(P_{0}(0,0) até P_{1}(4,8))

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva y = \sqrt{x^3}
do ponto P_0=(0,0) até P_1=(4,8).
O conteúdo envolvido é comprimento de arco de uma função y=f(x) suave. Para resolver, precisamos calcular y' e aplicar a fórmula
S = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^2}\,dx.

Passo 2

Vamos obter a derivada de y. Como
y = \bigl(x^3\bigr)^{1/2} = x^{3/2},
temos
y' = \frac{3}{2} x^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(y'\bigr)^2 = \frac{9}{4}\,x.
Logo o integrando fica
\sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}\,x}.

Passo 3

O comprimento de arco é
S = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \frac{9}{4}\,x}\,dx.
Para calcular essa integral, usamos a substituição
u = 1 + \frac{9}{4}\,x, \quad du = \frac{9}{4}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{4}{9}\,du.
Quando x=0, u=1; quando x=4, u=1+\tfrac{9}{4}\cdot4=10. Assim,

Passo 4

S = \int_{u=1}^{10} \sqrt{u}\;\frac{4}{9}\,du = \frac{4}{9} \int_{1}^{10} u^{1/2}\,du = \frac{4}{9}\,\biggl[\frac{2}{3}\,u^{3/2}\biggr]_{1}^{10} = \frac{8}{27}\,\bigl(10^{3/2} - 1\bigr).

Passo 5

Como 10^{3/2} = 10\sqrt{10}, concluímos
S = \frac{8}{27}\,\bigl(10\sqrt{10} - 1\bigr).

Resposta

O comprimento de arco é
\boxed{\,S = \frac{8}{27}\,\bigl(10\sqrt{10} - 1\bigr)\,.}

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