Encontrar o comprimento de arco da curva dada.
y=\frac{1}{3}\left(2+x^{2}\right)^{3 / 2}, 0 \leq x \leq 3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y=\frac{1}{3}\bigl(2+x^{2}\bigr)^{3/2},\quad 0\le x\le3.
O conteúdo é aplicação da fórmula do comprimento de arco para uma função y=f(x):
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada y'. Como
y=\frac{1}{3}(2+x^{2})^{3/2},
usando a regra da cadeia,
y'=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}(2+x^{2})^{1/2}\cdot2x =x\,(2+x^{2})^{1/2}.

Passo 3

Agora formamos 1+(y')^{2}:
1+(y')^{2} =1+x^{2}(2+x^{2}) =1+2x^{2}+x^{4} =(x^{2}+1)^{2}.
Logo
\sqrt{1+(y')^{2}}=x^{2}+1.

Passo 4

Substituindo na integral do comprimento de arco, temos
L=\int_{0}^{3}(x^{2}+1)\;dx =\biggl[\frac{x^{3}}{3}+x\biggr]_{0}^{3} =\Bigl(\frac{27}{3}+3\Bigr)-(0+0) =9+3 =12.

Resposta

O comprimento de arco é 12.

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