Encontrar a equação da reta tangente à curva
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto onde
.
Conteúdo da matéria: Cálculo Diferencial, especificamente derivadas e reta tangente.
O que vamos precisar:
- Calcular o valor de
quando para encontrar o ponto de tangência. - Encontrar a derivada de
em relação a , que nos dá a inclinação da reta tangente. - Usar a fórmula da reta para obter a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o valor de
quando
.
Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, para obter a inclinação da reta tangente.
Nossa função é
.
Vamos usar a regra da cadeia para derivar:
Se
, então
.
Aqui,
.
Primeiro, calculemos
:
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto
:
Substituindo
na derivada:
A inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Agora que temos o ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:
Passo 6
Vamos deixar a equação da reta na forma
:
Distribuindo o 64:
Somando 16 dos dois lados:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é
.