Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas r1 er2, nos casos: A(3,2,-1) r1:lx=3 y=-1 e r2:ly=x-3 z=-2 x+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é simultaneamente ortogonal às retas e . Isso envolve entender vetores direcionais e como eles se relacionam quando duas retas são ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das retas r1: x = 3 y = -1 e r2: y = x - 3 z = -2x + 3 .
Para y = t - 3 z = -2t + 3 :
Como e são constantes, apenas varia livremente. Isso significa que o vetor direcional de é .
Para :
Podemos parametrizar usando , assim:
Então, o vetor direcional de é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor direcional d cdot v1 = 0 implies 0a + 0b + 1c = 0 implies c = 0 para a reta que estamos procurando, que seja ortogonal a ambos d cdot v2 = 0 implies 1a + 1b - 2c = 0 implies a + b = 0 e . Para isso, o produto escalar entre e cada um dos vetores direcionais deve ser zero:
Com e , podemos escolher e para simplificar. Assim, .

Passo 4

Finalmente, usamos o ponto x = 3 + t y = 2 - t z = -1 e o vetor direcional para escrever as equações paramétricas da reta:
onde é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 3 + t y = 2 - t z = -1
onde é um número real.

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