Mostre que se B é uma inversa generalizada de A, então B^prime é uma inversa generalizada de A^prime.

Passo 1

Vamos lá! O problema pede para mostrar que se B é uma inversa generalizada de A, então o transposto de B, que chamamos de B^prime, é uma inversa generalizada do transposto de A, ou seja, A^prime. Estamos trabalhando com matrizes e transpostos, e vamos precisar entender as propriedades das inversas generalizadas e de transposição de matrizes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa B ser uma inversa generalizada de A. Por definição, isso quer dizer que:
A B A = A
Isso significa que, quando multiplicamos A por B e depois novamente por A, o resultado volta a ser A.

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que B^prime é uma inversa generalizada de A^prime. Ou seja, queremos provar que:
A^prime B^prime A^prime = A^prime
Para isso, vamos usar uma propriedade importante das matrizes: o transposto de um produto de matrizes é igual ao produto dos transpostos na ordem inversa. Matematicamente, isso significa que:
(ABC)^prime = C^prime B^prime A^prime

Passo 4

Aplicando essa propriedade à equação A B A = A, temos:
(A B A)^prime = A^prime
Mas, usando a propriedade dos transpostos, o lado esquerdo fica:
(A B A)^prime = A^prime B^prime A^prime
Portanto, a equação fica:
A^prime B^prime A^prime = A^prime

Resposta

Assim, mostramos que B^prime satisfaz a condição de inversa generalizada para A^prime, ou seja:
A^prime B^prime A^prime = A^prime

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