Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:
f(x)=l10-(x-3)^2, x <=-2 5(x-1),-2<x <=-1 -raiz91+(x-2)^2, x>-1

Passo 1

O enunciado define a função por partes e pede os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos extremos relativos. O conteúdo que vamos usar é o teste da derivada: para cada ramo, calculamos f', vemos onde ela é positiva ou negativa e identificamos pontos em que f' muda de sinal.

Passo 2

Para x<= -2 o ramo é
f1(x)=10-(x-3)^2
Derivando em linha reta, fica
f1'(x)=-2(x-3).
Como em x<= -2 temos x-3<0, segue f1'(x)>0. Logo, f é crescente em todo o intervalo (-infty,-2].

Passo 3

Para -2<x<= -1 o ramo é
f2(x)=5(x-1)
e sua derivada é
f2'(x)=5>0.
Logo, f também é crescente em (-2,-1].

Passo 4

Para x>-1 o ramo é
f3(x)=-raiz91+(x-2)^2
Derivando via cadeia, definindo u(x)=91+(x-2)^2, obtemos
f3'(x)=-u'(x)2raizu(x)=-2(x-2)2raiz91+(x-2)^2=-x-2raiz91+(x-2)^2
O sinal de f3' vem de x-2: é positivo quando -1<x<2 e negativo quando x>2.

Passo 5

Juntando tudo, os intervalos de monotonicidade são
Crescimento em (-infty,-2]cup(-2,-1]cup(-1,2), isto é, em (-infty,2).
Decrescimento em (2,infty).

Passo 6

Os candidatos a extremos são as junções e o ponto crítico x=2.
  • Em x=-2 e em x=-1 a derivada permanece positiva dos dois lados, logo não há extremum.
  • Em x=2 a derivada vai de positiva (à esquerda) a negativa (à direita), caracterizando um máximo relativo com
f(2)=-raiz91
Não há mudança de decrescente para crescente, então não surge mínimo relativo.

Resposta

Cresce em (-infty,2).
Decresce em (2,infty).
Máximo relativo em x=2 com f(2)=-raiz91.
Não há mínimos relativos.

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