Encontrar a matriz mudança da base \beta=\left\{e_{1=}(1,0,0), e_{2=}(0,1,0), e_{3=}(0,0,1)\right\} \subset \mathbb{R}^{3} para base \gamma=\left\{v_{1=}(0,1,1), v_{2=}(1,-2,0), v_{3=}(0,0,2)\right\} \subset \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a matriz de mudança de base de \beta para \gamma. Peguei os dados diretamente do enunciado:
O que se pede explicitamente: produzir a matriz que transforma as coordenadas de um vetor escritas em \beta (ou seja, as coordenadas padrão) em suas coordenadas na base \gamma. Em notação habitual, encontrar a matriz P_{\gamma\leftarrow\beta} tal que, para todo x\in\mathbb{R}^3,
onde cada v_j é escrito como coluna com coordenadas padrão.
Qual é a relação entre G e coordenadas? Se um vetor x tem coordenadas [x]_{\gamma} na base \gamma, então x em coordenadas padrão (isto é, [x]_{\beta}) é dado por
[x]_{\beta}=G\,[x]_{\gamma}.
Isso vem direto da definição: escrever x como combinação linear x = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 e agrupar coeficientes.
Queremos [x]_{\gamma} em função de [x]_{\beta}. Se G for invertível, isolamos:
[x]_{\gamma}=G^{-1}\,[x]_{\beta}.
Portanto a matriz de mudança de base procurada é
P_{\gamma\leftarrow\beta}=G^{-1}.
Aqui expliquei o significado de cada símbolo: G é a matriz cujas colunas são os vetores de \gamma em coordenadas padrão; G^{-1} é a inversa dessa matriz; [x]_{\beta} e [x]_{\gamma} são os vetores coluna com as coordenadas de x nas bases \beta e \gamma, respectivamente.
Passo 3
Formar explicitamente a matriz G usando os vetores de \gamma (peguei estes vetores do enunciado):
Interpretação final e checagem rápida (motivação para confiar no resultado).
A matriz encontrada é exatamente a matriz que transforma coordenadas padrão (base \beta) em coordenadas na base \gamma:
[x]_{\gamma}=G^{-1}[x]_{\beta}.
Uma verificação simples: multiplicando G por G^{-1} obtemos a identidade (confere que são inversas). Para ilustrar, G vezes a primeira coluna de G^{-1} dá (1,0,0)^T, e assim por diante — ou seja, G G^{-1}=I. (Fiz essa checagem mentalmente durante o cálculo; ela confirma que a inversa está correta.)