Encontrar a matriz mudança da base \beta=\left\{e_{1=}(1,0,0), e_{2=}(0,1,0), e_{3=}(0,0,1)\right\} \subset \mathbb{R}^{3} para base \gamma=\left\{v_{1=}(0,1,1), v_{2=}(1,-2,0), v_{3=}(0,0,2)\right\} \subset \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a matriz de mudança de base de \beta para \gamma. Peguei os dados diretamente do enunciado:
  • A base \beta é a base canônica de \mathbb{R}^3:
\beta=\{e_{1}=(1,0,0),\; e_{2}=(0,1,0),\; e_{3}=(0,0,1)\}.
  • A base \gamma é dada por:
\gamma=\{v_{1}=(0,1,1),\; v_{2}=(1,-2,0),\; v_{3}=(0,0,2)\}.
O que se pede explicitamente: produzir a matriz que transforma as coordenadas de um vetor escritas em \beta (ou seja, as coordenadas padrão) em suas coordenadas na base \gamma. Em notação habitual, encontrar a matriz P_{\gamma\leftarrow\beta} tal que, para todo x\in\mathbb{R}^3,
[x]_{\gamma}=P_{\gamma\leftarrow\beta}\,[x]_{\beta}.

Passo 2

Ideia geral e explicação didática (sem pular etapas).
  • Seja G a matriz cujas colunas são os vetores da base \gamma escritos nas coordenadas da base \beta (a base canônica). Ou seja,
G=\begin{pmatrix} \vline & \vline & \vline \\\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\\ \vline & \vline & \vline \end{pmatrix},
onde cada v_j é escrito como coluna com coordenadas padrão.
  • Qual é a relação entre G e coordenadas? Se um vetor x tem coordenadas [x]_{\gamma} na base \gamma, então x em coordenadas padrão (isto é, [x]_{\beta}) é dado por
[x]_{\beta}=G\,[x]_{\gamma}.
Isso vem direto da definição: escrever x como combinação linear x = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 e agrupar coeficientes.
  • Queremos [x]_{\gamma} em função de [x]_{\beta}. Se G for invertível, isolamos:
[x]_{\gamma}=G^{-1}\,[x]_{\beta}.
Portanto a matriz de mudança de base procurada é
P_{\gamma\leftarrow\beta}=G^{-1}.
Aqui expliquei o significado de cada símbolo: G é a matriz cujas colunas são os vetores de \gamma em coordenadas padrão; G^{-1} é a inversa dessa matriz; [x]_{\beta} e [x]_{\gamma} são os vetores coluna com as coordenadas de x nas bases \beta e \gamma, respectivamente.

Passo 3

Formar explicitamente a matriz G usando os vetores de \gamma (peguei estes vetores do enunciado):
v_{1}=(0,1,1),\qquad v_{2}=(1,-2,0),\qquad v_{3}=(0,0,2).
Logo
G=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -2 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Cada coluna é um v_j escrito nas coordenadas da base canônica \beta.]

Passo 4

Verificar que G é invertível calculando \det(G). Vou calcular por expansão na primeira linha (ou diretamente pelos menores):
\det(G) =0\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 0\\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] 1 & 2\end{pmatrix} +0\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Apenas o termo do meio é não nulo:
\det(G)=-1\big(1\cdot 2 - 1\cdot 0\big)=-1\cdot 2=-2.
Como \det(G)=-2\neq 0, a matriz G é invertível e podemos calcular G^{-1}.]

Passo 5

Calcular G^{-1} pelo método da adjunta (cofatores e adjugada), desenvolvendo os cofatores de forma explícita.
Primeiro calcular os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}), onde M_{ij} é a menor obtida removendo a linha i e a coluna j.
Cálculos dos determinantes das menores (cada cálculo mostrado):
  • C_{11}: menor \begin{pmatrix}-2 & 0\\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix} tem determinante (-2)\cdot 2 - 0\cdot 0 = -4. Como i+j=2 é par, C_{11}=-4.
  • C_{12}: menor \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] 1 & 2\end{pmatrix} tem determinante 1\cdot 2 - 1\cdot 0 = 2. Como i+j=3 é ímpar, C_{12}=-2.
  • C_{13}: menor \begin{pmatrix}1 & -2\\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix} tem determinante 1\cdot 0 - 1\cdot(-2)=2. Como i+j=4 é par, C_{13}=2.
  • C_{21}: menor \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix} tem determinante 1\cdot 2 - 0\cdot 0 = 2. Como i+j=3 é ímpar, C_{21}=-2.
  • C_{22}: menor \begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt] 1 & 2\end{pmatrix} tem determinante 0\cdot 2 - 1\cdot 0 = 0. Como i+j=4 é par, C_{22}=0.
  • C_{23}: menor \begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix} tem determinante 0\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1. Como i+j=5 é ímpar, C_{23}= -(-1)=1.
  • C_{31}: menor \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] -2 & 0\end{pmatrix} tem determinante 1\cdot 0 - (-2)\cdot 0 = 0. Como i+j=4 é par, C_{31}=0.
  • C_{32}: menor \begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix} tem determinante 0\cdot 0 - 1\cdot 0 = 0. Como i+j=5 é ímpar, C_{32}= -0 = 0.
  • C_{33}: menor \begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt] 1 & -2\end{pmatrix} tem determinante 0\cdot(-2) - 1\cdot 1 = -1. Como i+j=6 é par, C_{33}=-1.
Organizando a matriz de cofatores C:
C=\begin{pmatrix} -4 & -2 & 2\\[4pt] -2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
A matriz adjunta (adjugate) é a transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(G)=C^{T}= \begin{pmatrix} -4 & -2 & 0\\[4pt] -2 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Finalmente,
G^{-1}=\frac{1}{\det(G)}\operatorname{adj}(G)=\frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -4 & -2 & 0\\[4pt] -2 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Multiplicando cada entrada por -\tfrac{1}{2} obtemos
G^{-1}= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida (motivação para confiar no resultado).
  • A matriz encontrada é exatamente a matriz que transforma coordenadas padrão (base \beta) em coordenadas na base \gamma:
[x]_{\gamma}=G^{-1}[x]_{\beta}.
  • Uma verificação simples: multiplicando G por G^{-1} obtemos a identidade (confere que são inversas). Para ilustrar, G vezes a primeira coluna de G^{-1} (1,0,0)^T, e assim por diante — ou seja, G G^{-1}=I. (Fiz essa checagem mentalmente durante o cálculo; ela confirma que a inversa está correta.)

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados