Seja
definida por
, para todo
. Mostre que
é uma aplicação linear.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
para todo
.
A pergunta é: mostrar que é uma aplicação linear (ou seja, provar que
satisfaz as propriedades de linearidade para quaisquer vetores e escalares).
A pergunta é: mostrar que
Passo 2
Lembrete do que significa “ser linear” (explicando devagarinho):
Uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Uma aplicação
e
Aqui a soma de vetores em
é componente a componente, isto é, se
e
então
e a multiplicação por escalar
é
A soma em
funciona do mesmo jeito, por componentes.
Passo 3
Prova da aditividade
.
Sejam
e
vetores arbitrários em
. Então
Aplicando
a
,
Agora distribuindo e reagrupando termos nas frações:
Mas as parcelas são exatamente
e
, pois
Portanto
Passo 4
Prova da homogeneidade
.
Seja
e
. Então
Aplicando
a
,
Fatorando
nas componentes:
Reconhecendo a última expressão como
, obtemos
Passo 5
Conclusão: como
satisfaz as duas propriedades fundamentais (aditividade e homogeneidade) para vetores e escalares arbitrários,
é uma aplicação linear. Um comentário extra (útil na prova): disso também segue que
, pois
.
Resposta
T é linear.