Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y, z)=\left(\frac{x+y}{3}, \frac{y-z}{2}\right), para todo (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}. Mostre que T é uma aplicação linear.

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=\left(\frac{x+y}{3},\frac{y-z}{2}\right)
para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}.
A pergunta é: mostrar que T é uma aplicação linear (ou seja, provar que T satisfaz as propriedades de linearidade para quaisquer vetores e escalares).

Passo 2

Lembrete do que significa “ser linear” (explicando devagarinho):
Uma aplicação T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{3} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui a soma de vetores em \mathbb{R}^{3} é componente a componente, isto é, se u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2),
e a multiplicação por escalar c é
c\,u=(c x_1,\;c y_1,\;c z_1).
A soma em \mathbb{R}^{2} funciona do mesmo jeito, por componentes.

Passo 3

Prova da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v).
Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) vetores arbitrários em \mathbb{R}^{3}. Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando T a u+v,
T(u+v)=\left(\frac{(x_1+x_2)+(y_1+y_2)}{3},\;\frac{(y_1+y_2)-(z_1+z_2)}{2}\right).
Agora distribuindo e reagrupando termos nas frações:
T(u+v)=\left(\frac{x_1+y_1}{3}+\frac{x_2+y_2}{3},\;\frac{y_1-z_1}{2}+\frac{y_2-z_2}{2}\right).
Mas as parcelas são exatamente T(u) e T(v), pois
T(u)=\left(\frac{x_1+y_1}{3},\;\frac{y_1-z_1}{2}\right),\qquad T(v)=\left(\frac{x_2+y_2}{3},\;\frac{y_2-z_2}{2}\right).
Portanto
T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Prova da homogeneidade T(c\,u)=c\,T(u).
Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}. Então
c\,u=(c x,\;c y,\;c z).
Aplicando T a c\,u,
T(c\,u)=\left(\frac{c x + c y}{3},\;\frac{c y - c z}{2}\right).
Fatorando c nas componentes:
T(c\,u)=\left(c\frac{x+y}{3},\;c\frac{y-z}{2}\right)=c\left(\frac{x+y}{3},\;\frac{y-z}{2}\right).
Reconhecendo a última expressão como c\,T(u), obtemos
T(c\,u)=c\,T(u).

Passo 5

Conclusão: como T satisfaz as duas propriedades fundamentais (aditividade e homogeneidade) para vetores e escalares arbitrários, T é uma aplicação linear. Um comentário extra (útil na prova): disso também segue que T(0,0,0)=(0,0), pois T(0)=T(0\cdot u)=0\cdot T(u)=0.

Resposta

T é linear.

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