Para encontrar máximos e mínimos de uma função, uma das estratégias possíveis é construir o gráfico da função e identificar os seus pontos. No entanto, às vezes é difícil encontrar tal gráfico pela complexidade da função, por isso podemos empregar outros recursos, como o estudo da função e de suas derivadas. Nesse sentido, seja a função: f(x) = (1/3)x³ - 4x² + 12x + 1
A respeito dessa função é correto afirmar que:
A respeito dessa função é correto afirmar que:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre encontrar máximos e mínimos de uma função. A função que vamos analisar é $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 12x + 1 $. Para isso, vamos usar o estudo das derivadas da função, que nos ajuda a identificar onde ela tem pontos de máximo ou mínimo. Precisaremos calcular a derivada primeira e a derivada segunda da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função $ f(x) $. A derivada primeira, $ f’(x) $, nos indica a taxa de variação da função. Matemáticamente, ela é calculada derivando cada termo de $ f(x) $:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de $ x $ onde a derivada primeira é zero ou não existe. No nosso caso, a derivada primeira é um polinômio, então ela existe para todos os $ x $. Vamos igualar $ f’(x) $ a zero e resolver para $ x $:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são:
Passo 4
Com os pontos críticos encontrados ($ x = 2 $ e $ x = 6 $), precisamos determinar se cada um deles é um ponto de máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, vamos usar a derivada segunda da função, $ f’’(x) $.
A derivada segunda nos ajuda a analisar a concavidade da função:
- Se $ f’’(x) > 0 $, a função é côncava para cima e o ponto crítico é um mínimo.
- Se $ f’’(x) < 0 $, a função é côncava para baixo e o ponto crítico é um máximo.
- Se $ f’’(x) = 0 $, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular $ f’’(x) $:
Passo 5
Agora, avaliamos $ f’’(x) $ nos pontos críticos:
-
Para $ x = 2 $:Como $ f’’(2) < 0 $, a função é côncava para baixo nesse ponto. Portanto, $ x = 2 $ é um ponto de máximo.
-
Para $ x = 6 $:Como $ f’’(6) > 0 $, a função é côncava para cima nesse ponto. Portanto, $ x = 6 $ é um ponto de mínimo.
Resposta
Portanto, para a função $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 12x + 1 $:
- $ x = 2 $ é um ponto de máximo.
- $ x = 6 $ é um ponto de mínimo.