Encontrar o número de soluções inteiras de x_{1}+ x_{2}+x_{3}=12, com x_{i} \geqslant-2, para i=1,2,3.

Passo 1

O enunciado pede o número de soluçõe inteiras de
x_{1}+x_{2}+x_{3}=12
com a condição x_{i}\geqslant -2. Este é um problema de contagem de soluções inteiras de uma equação linear com restrição inferior. Vamos usar a técnica de stars and bars após transformar as variáveis para que fiquem não negativas.

Passo 2

Definimos novas variáveis
y_{i}=x_{i}+2,
de modo que y_{i}\geqslant 0. Substituindo na soma:
x_{1}+x_{2}+x_{3}=12 \quad\Longrightarrow\quad (y_{1}-2)+(y_{2}-2)+(y_{3}-2)=12
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y_{1}+y_{2}+y_{3}=12+6=18.

Passo 3

Agora contamos as soluções não negativas de
y_{1}+y_{2}+y_{3}=18.
Pelo método de stars and bars, o número de soluções é
\binom{18+3-1}{3-1}=\binom{20}{2}=190.

Resposta

190

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