Quantas são as soluções inteiras e não negativas de x+y+z+w<6 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras e não-negativas de
x + y + z + w < 6.
O conteúdo aqui é combinatória clássica (método “estrelas e barras”). Vamos transformar essa desigualdade num conjunto de somas iguais a um valor s e depois somar todas as possibilidades.

Passo 2

Definimos
s = x + y + z + w,
com x,y,z,w \ge 0. Então a condição x+y+z+w<6 fica equivalente a
s \in \{0,1,2,3,4,5\}.
Logo, basta contar, para cada s de 0 a 5, quantas soluções não-negativas existem de
x+y+z+w = s
e depois somar esses resultados.

Passo 3

Pela fórmula de estrelas e barras, o número de soluções não-negativas de
x+y+z+w = s
é
\binom{s + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{s+3}{3}.
Isso ocorre porque temos s “estrelas” a distribuir em 4 “caixas” (as variáveis), separadas por 3 “barras”.

Passo 4

Somamos agora para s de 0 até 5:
\sum_{s=0}^{5} \binom{s+3}{3}.
Usando a identidade
\sum_{k=0}^{n} \binom{k+r}{r} = \binom{n+r+1}{r+1},
com r=3 e n=5, obtemos
\sum_{s=0}^{5} \binom{s+3}{3} = \binom{5+3+1}{3+1} = \binom{9}{4}.

Passo 5

Basta calcular
\binom{9}{4} = \frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = 126.

Resposta

126

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