Quantas são as soluções inteiras e não negativas de
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções inteiras e não-negativas de
O conteúdo aqui é combinatória clássica (método “estrelas e barras”). Vamos transformar essa desigualdade num conjunto de somas iguais a um valor
e depois somar todas as possibilidades.
Passo 2
Definimos
com
. Então a condição
fica equivalente a
Logo, basta contar, para cada
de 0 a 5, quantas soluções não-negativas existem de
e depois somar esses resultados.
Passo 3
Pela fórmula de estrelas e barras, o número de soluções não-negativas de
é
Isso ocorre porque temos
“estrelas” a distribuir em 4 “caixas” (as variáveis), separadas por 3 “barras”.
Passo 4
Somamos agora para
de 0 até 5:
Usando a identidade
com
e
, obtemos
Passo 5
Basta calcular