8 Encontrar o número de soluções em inteiros positivos da equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17
onde x_{i} \leq 8, para i=1,2,3,4.

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções em inteiros positivos de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17
com a restrição x_{i}\le8.
O conteúdo envolve contagem de soluções inteiras usando o princípio das “barras e estrelas” e o método de inclusão–exclusão para impor limites superiores.

Passo 2

Como cada x_{i} é positivo, fazemos a mudança de variável
y_{i}=x_{i}-1,
de modo que y_{i}\ge0 e a soma se torna
\sum_{i=1}^{4}y_{i} = 17 - 4 = 13.
Além disso, x_{i}\le8 implica y_{i}\le7.

Passo 3

Contamos primeiro todas as soluções não negativas de
y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=13
sem a restrição superior. Pelo “barras e estrelas”, o total é
\binom{13+4-1}{4-1} \;=\;\binom{16}{3} \;=\;560.

Passo 4

Agora aplicamos inclusão–exclusão para retirar as soluções em que alguma y_{i}\ge8. Seja A_{i} o conjunto de soluções com y_{i}\ge8. Para contar |A_{i}|, definimos z_{i}=y_{i}-8\ge0, obtendo
z_{i} + \sum_{j\neq i}y_{j} = 13 - 8 = 5.
O número de soluções não negativas dessa soma é
\binom{5+4-1}{4-1} \;=\;\binom{8}{3} \;=\;56.
Como há 4 escolhas para i, a soma dos |A_{i}| é 4\times56=224.

Passo 5

Intersecções de dois eventos A_{i}\cap A_{j} exigem retirar 8+8=16 da soma 13, gerando valor negativo; logo, não existem soluções nessas intersecções, e todas as intersecções de ordem maior também são vazias.

Passo 6

Pela inclusão–exclusão, o número de soluções válidas é
560 - 224 = 336.

Resposta

336

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