8 Encontrar o número de soluções em inteiros positivos da equação
onde
, para
.
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções em inteiros positivos de
com a restrição
.
O conteúdo envolve contagem de soluções inteiras usando o princípio das “barras e estrelas” e o método de inclusão–exclusão para impor limites superiores.
O conteúdo envolve contagem de soluções inteiras usando o princípio das “barras e estrelas” e o método de inclusão–exclusão para impor limites superiores.
Passo 2
Como cada
é positivo, fazemos a mudança de variável
de modo que
e a soma se torna
Além disso,
implica
.
Passo 3
Contamos primeiro todas as soluções não negativas de
sem a restrição superior. Pelo “barras e estrelas”, o total é
Passo 4
Agora aplicamos inclusão–exclusão para retirar as soluções em que alguma
. Seja
o conjunto de soluções com
. Para contar
, definimos
, obtendo
O número de soluções não negativas dessa soma é
Como há 4 escolhas para
, a soma dos
é
.
Passo 5
Intersecções de dois eventos
exigem retirar
da soma 13, gerando valor negativo; logo, não existem soluções nessas intersecções, e todas as intersecções de ordem maior também são vazias.
Passo 6
Pela inclusão–exclusão, o número de soluções válidas é
Resposta
336