Encontrar todos os valores de k para os quais A=\left[\begin{array}{ccc}k & k & 0 \\\ k^{2} & 0 & k \\\\ 0 & k & k\end{array}\right] é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os valores de k para os quais a matriz
A = \begin{pmatrix} k & k & 0\\\ k^{2} & 0 & k\\\\ 0 & k & k \end{pmatrix}
é invertível.
Conteúdo: matriz invertível se, e somente se, o determinante é diferente de zero. Vamos calcular \det(A) e exigir \det(A)\neq0.

Passo 2

Para calcular \det(A) usamos a expansão pela primeira linha:
\det(A) = k\cdot\det\begin{pmatrix}0 & k\k & k\end{pmatrix} - k\cdot\det\begin{pmatrix}k^{2} & k\\\ 0 & k\end{pmatrix} + 0\cdot(\dots).
Agora os menores:
\det\begin{pmatrix}0 & k\k & k\end{pmatrix} =0\cdot k - k\cdot k = -k^{2},
\det\begin{pmatrix}k^{2} & k\\\ 0 & k\end{pmatrix} =k^{2}\cdot k - k\cdot 0 = k^{3}.
Logo,
\det(A) = k\cdot(-k^{2}) - k\cdot(k^{3}) = -k^{3} - k^{4}.

Passo 3

Fatorando o determinante:
\det(A) = -k^{3}(1 + k).
Para A ser invertível, precisamos de
\det(A)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad -k^{3}(1+k)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad k^{3}\neq0 \\ \text{e}\\\ 1+k\neq0.
Isto é,
k\neq0 \quad\text{e}\quad k\neq -1.

Resposta

Todos os valores de k tais que A é invertível são
k\in\mathbb{R}\setminus\{0,\,-1\}.

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