Encontre a 1000ª derivada de f(x)=xe^-x.
Passo 1
Nesta questão, precisamos encontrar a 1000ª derivada da função $ f(x) = x e^{-x} $. Estamos trabalhando com derivadas de ordem elevada, que fazem parte do conteúdo de Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções que são produtos de polinômios e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar derivadas de ordem tão alta, como a 1000ª, é útil identificar um padrão nas derivadas sucessivas. Então, vamos calcular as primeiras derivadas de $ f(x) $ para ver se conseguimos perceber algum padrão.
Passo 3
Calculando a primeira derivada:
Calculando a segunda derivada:
Passo 4
Continuando esse processo, observamos que em cada derivada, os coeficientes dos termos envolvendo $ e^{-x} $ e $ x e^{-x} $ alternam conforme um padrão específico. Após analisar várias derivadas, concluímos que a n-ésima derivada de $ f(x) $ é dada por:
Resposta
Portanto, a 1000ª derivada de $ f(x) = x e^{-x} $ é: