Um fisioterapeuta elaborou o seguinte plano de treinos diários para o condicionamento de um maratonista que se recupera de uma contusão: primeiro dia – corrida de 6 km; dias subsequentes – acréscimo de 2 km à corrida de cada dia imediatamente anterior. O último dia de treino será aquele em que o atleta correr 42 km. O total percorrido pelo atleta nesse treinamento, do primeiro ao último dia, em quilômetros, corresponde a:
a) 414 km
b) 438 km
c) 456 km
d) 484 km

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A questão fala sobre um maratonista que está treinando para uma maratona e está aumentando a distância das corridas dia a dia. No primeiro dia, ele corre 6 km, e a cada dia seguinte, ele adiciona mais 2 km na corrida de ontem. A corrida termina no dia em que ele alcança 42 km. A gente precisa descobrir o total de quilômetros que ele correu durante todo o treinamento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressão aritmética, que é uma sequência numérica onde a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos dias de treino ele teve até chegar nos 42 km. Sabemos que no primeiro dia ele correu 6 km e que a cada dia ele aumenta 2 km. Então, a distância que ele corre em cada dia forma uma sequência: 6 km, 8 km, 10 km, e assim por diante, até 42 km.

Passo 3

Para encontrar o número de dias, usamos a fórmula do termo geral da progressão aritmética:
an = a1 + (n - 1) times d
Onde:
- $ a_n $ é o último termo (42 km),
- $ a_1 $ é o primeiro termo (6 km),
- $ d $ é a diferença comum (2 km),
- $ n $ é o número de termos (dias).
Vamos substituir os valores:
an

Passo 4

Agora, resolvemos a equação para encontrar $ n $:
n
42 - 6 = (n - 1) times 2
36 = (n - 1) times 2
362 = n - 1
18 = n - 1
Então, ele treinou por 19 dias.

Passo 5

Agora que sabemos que ele treinou por 19 dias, vamos calcular o total de quilômetros percorridos. Para isso, usamos a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética:
Sn = n2 times (a1 + an)
Onde:
- $ S_n $ é a soma total,
- $ n $ é o número de termos (19),
- $ a_1 $ é o primeiro termo (6 km),
- $ a_n $ é o último termo (42 km).
Substituindo os valores:
Sn
n
a1
an

Resposta

O total percorrido pelo atleta nesse treinamento foi de 456 km. A alternativa correta é a c) 456 km.

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