Encontre
abla
cdot(
abla
times
vec{F}).
F(x, y, z)=e^x z i+3 x e^y j-e^y z k

Passo 1

O enunciado pede para calcular
nablacdotl(nablatimesvec Fr)
sendo vec F(x,y,z)=e^xz,vec i+3x,e^y,vec j - e^yz,vec k.
O conteúdo que vamos usar é a definição de rotor ( nablatimesvec F) e de divergência, além de observar que as funções exponenciais são C^2.

Passo 2

Calculemos primeiro nablatimesvec F. A definição é
(nablatimesvec F)1 = partial F3partial y-partial F2partial z, (nablatimesvec F)2 = partial F1partial z-partial F3partial x, (nablatimesvec F)3 = partial F2partial x-partial F1partial y
Aqui F1=e^xz, F2=3x,e^y, F3=-e^yz. Logo:
(nablatimesvec F)1 =partialpartial y(-e^yz)-partialpartial z(3x,e^y) =-z,e^yz-0=-z,e^yz,
(nablatimesvec F)2 =partialpartial z(e^xz)-partialpartial x(-e^yz) =x,e^xz-0=x,e^xz,
(nablatimesvec F)3 =partialpartial x(3x,e^y)-partialpartial y(e^xz) =3,e^y-0=3,e^y

Passo 3

Agora calculamos
nablacdotl(nablatimesvec Fr) =partialpartial xl(-z,e^yzr) +partialpartial yl(x,e^xzr) +partialpartial zl(3,e^yr)
Cada termo é constante em relação à variável de derivação:
partialpartial x(-z,e^yz)=0, partialpartial y(x,e^xz)=0, partialpartial z(3,e^y)=0
Somando, obtemos zero.

Resposta

0

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