Desenhe a imagem da superficie parametrizada dada.
sigma(u, v)=(v cos u, v sen u, v), 0 <= u <= 2 pi, 0 <= v <= h, em que h>0 é um real dado.

Passo 1

O enunciado nos dá uma parametrização
sigma(u,v) = l(vcos u,;vsin u,;vr), 0<= u<=2pi,;0<= v<= h,
e pede para desenhar a imagem dessa superfície. O conteúdo aqui é geometria diferencial de superfícies em R^3: vamos identificar a forma geométrica e escrever sua equação implícita para entender que figura é.

Passo 2

Note que das duas primeiras coordenadas definimos
x = vcos u, y = vsin u
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x^2 + y^2 = v^2
Como a terceira coordenada é z=v, substituindo v=z ficamos com
x^2 + y^2 = z^2

Passo 3

A equação
x^2 + y^2 = z^2, 0 <= z <= h
é justamente a superfície lateral de um cone circular reto com vértice na origem, eixo ao longo de z e altura h. O ângulo entre a geratriz e o eixo é de 45^circ.

Passo 4

Para desenhar, basta traçar no plano xy uma família de círculos de raio v à altura z=v. Conforme v varia de 0 a h, esses círculos formam o cone.

Resposta

A imagem de sigma é a superfície lateral do cone
(x,y,z)inR^3 mid x^2+y^2 = z^2,;0<= z<= h,
i.e.\ um cone reto de altura h com vértice na origem e eixo Oz.

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