Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.) f(u) = (u^2 + 3 * raiz(u)) / u^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a antiderivada mais geral da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre antiderivadas. Para resolver, vamos precisar simplificar a função e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar a integração. Temos:
Podemos dividir cada termo do numerador por :
Simplificando os expoentes:
Então, a função simplificada fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de . A antiderivada, ou integral indefinida, de uma função é outra função cuja derivada é a função original. Para integrar termo a termo:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro, a integral de em relação a é simplesmente , porque a derivada de é .
Segundo, vamos integrar . Lembrando que a integral de é (desde que ).

Resposta

Juntando os dois resultados, a antiderivada mais geral de é:
onde é a constante de integração.

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