Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(\frac{3}{s}-2 s^{2}+4\right) d s.

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada (primitiva) da função
\frac{3}{s} \;-\;2s^{2}\;+\;4
em relação a s. Para isso, vamos usar a linearidade do operador de integração e as fórmulas conhecidas \displaystyle \int s^{n}ds = \frac{s^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1) e \displaystyle \int \frac{1}{s}ds = \ln\lvert s\rvert.

Passo 2

Aplicando a linearidade, escrevemos
\int\!\Bigl(\frac{3}{s} - 2s^{2} + 4\Bigr)ds = 3\int\frac{1}{s}ds \;-\;2\int s^{2}ds \;+\;4\int ds.

Passo 3

Agora usamos as regras de integração termo a termo:
  • \displaystyle \int\frac{1}{s}ds = \ln\lvert s\rvert, logo
3\int\frac{1}{s}ds = 3\,\ln\lvert s\rvert.
  • \displaystyle \int s^{2}ds = \frac{s^{3}}{3}, logo
-2\int s^{2}ds = -2\cdot\frac{s^{3}}{3} = -\frac{2}{3}s^{3}.
  • \displaystyle \int ds = s, logo
4\int ds = 4s.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(s) = 3\ln\lvert s\rvert \;-\;\frac{2}{3}s^{3} \;+\;4s \;+\;C.

Resposta

F(s) = 3\ln\lvert s\rvert - \frac{2}{3}s^{3} + 4s + C.

Exercícios relacionados