Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(4 a x-5 a^{2} x^{2}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma antiderivada de
f(x)=4\,a\,x \;-\;5\,a^{2}\,x^{2}.
Para isso, vamos usar a regra de potência, que diz que
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 2

Integramos cada termo separadamente:
\int 4\,a\,x\,dx = 4\,a \int x\,dx = 4\,a \cdot \frac{x^{2}}{2} = 2\,a\,x^{2},
\int -5\,a^{2}\,x^{2}\,dx = -5\,a^{2} \int x^{2}\,dx = -5\,a^{2} \cdot \frac{x^{3}}{3} = -\frac{5}{3}\,a^{2}\,x^{3}.

Passo 3

Somando as duas parcelas e incluindo a constante de integração C, obtemos:
F(x)=2\,a\,x^{2}-\frac{5}{3}\,a^{2}\,x^{3}+C.

Resposta

2\,a\,x^{2}-\frac{5}{3}\,a^{2}\,x^{3}+C

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