Encontre a antiderivada ou primitiva para as seguintes funções::
\int\left(\frac{t^{4}}{2}-\cos t+\frac{4}{t^{3}}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
f(t)=\frac{t^{4}}{2}-\cos t+\frac{4}{t^{3}},
ou seja, calcular
\int\Bigl(\frac{t^{4}}{2}-\cos t+\frac{4}{t^{3}}\Bigr)\,dt.
O que vamos usar: a linearidade da integral, a regra de potência \displaystyle \int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1) e a integral de \cos t, que é \sin t.

Passo 2

Aplicamos linearidade para quebrar em três integrais mais simples:
\int\frac{t^{4}}{2}\,dt \;-\;\int\cos t\,dt \;+\;\int\frac{4}{t^{3}}\,dt.

Passo 3

Integramos o primeiro termo usando a regra de potência:
\int\frac{t^{4}}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int t^{4}\,dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{t^{5}}{5} = \frac{t^{5}}{10}.

Passo 4

Para o segundo termo, a integral de \cos t é \sin t, então
-\int\cos t\,dt = -\sin t.

Passo 5

No terceiro termo, escrevemos \tfrac{4}{t^{3}}=4\,t^{-3} e aplicamos regra de potência:
\int 4\,t^{-3}\,dt =4\int t^{-3}\,dt =4\cdot\frac{t^{-2}}{-2} =-2\,t^{-2} =-\frac{2}{t^{2}}.

Passo 6

Somando as três partes e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva geral
F(t) = \frac{t^{5}}{10}-\sin t-\frac{2}{t^{2}}+C.

Resposta

F(t)=\frac{t^{5}}{10}-\sin t-\frac{2}{t^{2}}+C.

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